编程之美——2.20 程序理解和时间分析

最近在看《编程之美》，为找工作面试做准备。该书中2.20程序理解和时间分析一题没有给出解答，所以简单写一下我自己的答案。

题目如下：

阅读以下C#代码，回答问题：

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using System;

using System.Collections.Generic;

using System.Text;

namespace FindTheNumber

{

class Program

{

static void Main(string[] args)

{

int [] rg =

{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,

18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31};

for(Int64 i = 1; i < Int64.MaxValue; i++)

{

int hit = 0;

int hit1 = -1;

int hit2 = -1;

for (int j = 0; (j < rg.Length) && (hit <= 2); j++)

{

if((i % rg[j]) != 0)

{

hit++;

if(hit == 1)

{

hit1 = j;

}

else if (hit == 2)

{

hit2 = j;

}

else

break;

}

}

if((hit == 2) && (hit1 + 1 == hit2))

{

Console.WriteLine("found {0}", i);

}

}

}

}

}

1> 这个程序要找的是符合什么条件的数？

2> 这样的数存在么？符合这一条件的最小的数是什么？

3> 在电脑上运行这一程序，你估计要多长时间才能输出第一个结果？时间精确到分钟(电脑配置：单核CPU2.0GHz，内存和硬盘资源充足)

我的解答：

1> 第一个问题不难，只要认真分析程序，就能看出来程序求的是这样的数，这个数不能被 rg[k]和rg[k+1]整除(0 <= k < n-1)，同时能被其余所有数(即rg[0],…,rg[k-1]和r[k+2],…,r[n-1])整除。

2> 该问的入手点是寻找rg[k]和rg[k+1]。

首先，rg[k]肯定大于15。若rg[k]<=15的话，那么rg[k]*2也在rg数组中，并且不能被 i 整除，所以这样的 i 肯定找不到。

其次，rg[k]和rg[k+1]不能由其余的rg数组中的数组合相乘而得，比如18，可以由2乘上9得到，所以若 i 能整除 2 和 9, 则必能整除18. 由此，我们可以得到：

16=2*8, 18 = 2*9, 20 = 4*5, 22 = 2*11, 24 = 3*8, 26 = 2*13, 28 = 4*7, 30 = 2*15。

这样乍一看，似乎没有满足条件的rg[k]和rg[k+1]，但是我们注意在上述一串等式中，16=2*8，其中的2是8的因子，所以只要 i 能整除8，就必能整除2，因此没有必要要求 i 能整除 2*8。 而其余的等式中，两个乘数没有因子关系，所以i 若能整除两个乘数，则肯定能整除其乘积。

由此，我们得到了唯一满足条件的rg[k]和rg[k+1]，即16,17。

这样，剩下的问题就是求不能整除16,17，却能整除其余所有数的整数中最小的那一个。我们先把2到31中的素数都列出来(17除外)：{2,3,5,7,11,13,19,23,29,31}。而2到31中(16,17除外)的数都是由这些素数作为因子组合相乘得到的，其中，要得到8，至少要3个2，要得到27至少要3个3，要得到25，至少要2个5，其余的素因子都只需一个就够了。

因此，这个最小的数就是 2^3, 3^3, 5^2, 7, 11, 13, 19, 23, 29, 31的乘积，答案为：2123581660200。（因为题目要求不借助电脑，所以我手算了两次，竟然都算错了，最后只好拿计算器算） 。

3> 要估算时间，我们先确定一个原子操作（或者说原子过程更合适），这里我们取内层for循环里的整个if语句块，该段程序主要包括一个取模操作和一个判断，如果进入if语句的话，还包括1次加法操作，1~2次判断和一次赋值操作。

我们知道加法、判断等操作基本都在几个时钟周期内就可以完成，而除法操作却需要数十个时钟周期，而取模操作也是通过除法操作得到的(还记得汇编语言里，执行除法操作之后，一个寄存器里存结果，另一个寄存器里存余数)，另外，对64位整数的除法明显要慢于32位整数，综合这些因素，我们可以假设该原子操作需要100个时钟周期。因此2GHz的CPU在1秒内能跑2*10^9 / 100 = 2*10^7 即2000万次原子操作，做过ACM的同学就会有一个直观概念，这和我们通常做时限为1S的题时估算的计算次数差不多。

接下来估算原子操作执行的次数：外层循环跑了2123581660200次，内层循环取决于 i 的情况，当i为奇数的时候，内层最多跑5次即可结束，因为2，4，6都不能整除奇数；当i为偶数的时候，情况要复杂一些，但是也可以一个一个的详细分析。这里我们粗略估计，就算内层循环平均可以跑10次，外层循环少跑一些，去掉零头，总的原子操作执行了2*10^13次。

所以需要 2*10^13 / (2*10^7) = 10^6秒约为277个小时。