【原创】开源Math.NET基础数学类库使用(16)C#计算矩阵秩
2015-05-04 06:12
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上个月对Math.NET的基本使用进行了介绍,主要内容有矩阵,向量的相关操作,解析数据格式,数值积分,数据统计,相关函数,求解线性方程组以及随机数发生器的相关内容。这个月接着深入发掘Math.NET的各种功能,并对源代码进行分析,使得大家可以尽可能的使用Math.NET在.NET平台下轻易的开发数学计算相关的,或者可以将其中的源码快速移植到自己的系统中去(有时候并不需要所有的功能,只需要其中的部分功能代码),今天要介绍的是Math.NET中利用C#计算矩阵秩的功能。
本文原文地址:http://www.cnblogs.com/asxinyu/p/4304304.html
计算矩阵A的秩的最容易的方式是高斯消去法,即利用矩阵的初等变换生成一个行阶梯型矩阵,由于矩阵的初等变换不改变矩阵的秩,因此A的行梯阵形式有同A一样的秩。经过初等变换的矩阵的非零行的数目就是原矩阵的秩。例如考虑4 × 4矩阵:
我们看到第2纵列是第1纵列的两倍,而第4纵列等于第1和第3纵列的总和。第1和第3纵列是线性无关的,所以A的秩是2。这可以用高斯算法验证。它生成下列A的行梯阵形式:
它有两个非零的横行。在应用在计算机上的浮点数的时候,基本高斯消去(LU分解)可能是不稳定的,应当使用秩启示(revealing)分解。一个有效的替代者是奇异值分解(SVD),但还有更少代价的选择,比如有支点(pivoting)的QR分解,它也比高斯消去在数值上更强壮。秩的数值判定要求对一个值比如来自SVD的一个奇异值是否为零的依据,实际选择依赖于矩阵和应用二者。
http://zh.wikipedia.org/wiki/秩_(线性代数)
矩阵秩在线性代数中的应用还是很广的,如计算线性方程组的解的数目等,下面就看一下Math.NET中对该过程的计算实现以及如何调用的例子。
结果如下:
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上个月对Math.NET的基本使用进行了介绍,主要内容有矩阵,向量的相关操作,解析数据格式,数值积分,数据统计,相关函数,求解线性方程组以及随机数发生器的相关内容。这个月接着深入发掘Math.NET的各种功能,并对源代码进行分析,使得大家可以尽可能的使用Math.NET在.NET平台下轻易的开发数学计算相关的,或者可以将其中的源码快速移植到自己的系统中去(有时候并不需要所有的功能,只需要其中的部分功能代码),今天要介绍的是Math.NET中利用C#计算矩阵秩的功能。
本文原文地址:http://www.cnblogs.com/asxinyu/p/4304304.html
1.什么是矩阵秩
矩阵的秩是反映矩阵固有特性的一个重要概念。在线性代数中,一个矩阵A的列秩是A的线性无关的纵列的极大数目。类似地,行秩是A的线性无关的横行的极大数目。矩阵的列秩和行秩总是相等的,因此它们可以简单地称作矩阵A的秩。通常表示为r(A),rk(A)或rank A。矩阵的行秩与列秩相等,是线性代数基本定理的重要组成部分. 其基本证明思路是,矩阵可以看作线性映射的变换矩阵,列秩为像空间的维度,行秩为非零原像空间的维度,因此列秩与行秩相等,即像空间的维度与非零原像空间的维度相等(这里的非零原像空间是指约去了零空间后的商空间:原像空间)。这从矩阵的奇异值分解就可以看出来。矩阵秩的计算最容易的方式是高斯消去法,这里引用维基百科的内容:计算矩阵A的秩的最容易的方式是高斯消去法,即利用矩阵的初等变换生成一个行阶梯型矩阵,由于矩阵的初等变换不改变矩阵的秩,因此A的行梯阵形式有同A一样的秩。经过初等变换的矩阵的非零行的数目就是原矩阵的秩。例如考虑4 × 4矩阵:
我们看到第2纵列是第1纵列的两倍,而第4纵列等于第1和第3纵列的总和。第1和第3纵列是线性无关的,所以A的秩是2。这可以用高斯算法验证。它生成下列A的行梯阵形式:
它有两个非零的横行。在应用在计算机上的浮点数的时候,基本高斯消去(LU分解)可能是不稳定的,应当使用秩启示(revealing)分解。一个有效的替代者是奇异值分解(SVD),但还有更少代价的选择,比如有支点(pivoting)的QR分解,它也比高斯消去在数值上更强壮。秩的数值判定要求对一个值比如来自SVD的一个奇异值是否为零的依据,实际选择依赖于矩阵和应用二者。
http://zh.wikipedia.org/wiki/秩_(线性代数)
矩阵秩在线性代数中的应用还是很广的,如计算线性方程组的解的数目等,下面就看一下Math.NET中对该过程的计算实现以及如何调用的例子。
2.Math.NET矩阵秩计算的实现
Math.NET在对矩阵秩的计算过程中,和行列式的实现方式非常相似,也是把其作为矩阵计算的一个小部分功能,作为属性添加在各个矩阵分解算法的抽象和实现类中,看一下其中一个Svd分解算法抽象,由于计算简单,已经直接实现了秩的计算,继承类可以直接使用,就够了,其他的使用下面也和行列式类似。internal abstract class Svd : Svd<float> { protected Svd(Vector<float> s, Matrix<float> u, Matrix<float> vt, bool vectorsComputed) : base(s, u, vt, vectorsComputed) { } /// <summary>计算矩阵秩</summary> /// <value>The number of non-negligible singular values.</value> public override int Rank { get { return S.Count(t => !Math.Abs(t).AlmostEqual(0.0f)); } } public override double L2Norm { get{return Math.Abs(S[0]);} } public override float ConditionNumber { get { var tmp = Math.Min(U.RowCount, VT.ColumnCount) - 1; return Math.Abs(S[0]) / Math.Abs(S[tmp]); } } /// <summary>计算行列式 </summary> public override float Determinant { get { if (U.RowCount != VT.ColumnCount) { throw new ArgumentException(Resources.ArgumentMatrixSquare); } var det = 1.0; foreach (var value in S) { det *= value; if (Math.Abs(value).AlmostEqual(0.0f)) { return 0; } } return Convert.ToSingle(Math.Abs(det)); } } }
3.Math.NET计算矩阵秩的代码
上述过程和原理只是便于大家理解其实现过程,下面简单演示一下在Math.NET中计算矩阵秩的过程,就是直接调用计算即可。// 格式设置 var formatProvider = (CultureInfo)CultureInfo.InvariantCulture.Clone(); formatProvider.TextInfo.ListSeparator = " "; //创建一个随机的矩阵 var matrix = new DenseMatrix(5); var rnd = new Random(1); for (var i = 0; i < matrix.RowCount; i++) { for (var j = 0; j < matrix.ColumnCount; j++) { matrix[i, j] = rnd.NextDouble(); } } Console.WriteLine(@"Initial matrix"); Console.WriteLine(matrix.ToString("#0.00\t", formatProvider)); Console.WriteLine(); //1. 秩 Console.WriteLine(@"矩阵秩计算结果为:"); Console.WriteLine(matrix.Rank()); Console.WriteLine();
结果如下:
Initial matrix DenseMatrix 5x5-Double 0.25 0.11 0.47 0.77 0.66 0.43 0.35 0.94 0.10 0.64 0.03 0.25 0.32 0.99 0.68 0.65 0.28 0.62 0.70 0.70 0.95 0.09 0.16 0.38 0.80 矩阵秩计算结果为: 5
4.资源
包括源代码以及案例都可以去官网下载,下载地址本系列文章的目录中第一篇文章:http://www.cnblogs.com/asxinyu/p/4264638.html,有介绍。由于源码很大,如果找不到相应的案例,可以进行搜索,可以比较快的找到相应的代码。相关文章推荐
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