数据结构专题——二叉查找树

一、二叉查找树(Binary Search Tree)

名称

二叉搜索树(Binary Search Tree) 有序二叉树（Ordered Binary Tree) 已排序二叉树（Sorted Binary Tree)

二叉查找树能够实现动态查找。

二叉树性质

若任意节点的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；

若任意节点的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；

任意节点的左、右子树也分别为二叉查找树；

没有键值相等的结点；

重要特性

设树高度为h,结点数为n,关键字key,结点x的左孩子为x.left，右孩子为x.right，双亲为x.p

遍历

按中序遍历二叉查找树，可以得到一个关键字递增或递减的有序序列。

遍历时间复杂度:O(n)

伪代码(获得递增序列)

INORDER-TREE-WALK(x)
if x != NULL
INORDER-TREE-WALK(x.left)
print x.key
INORDER-TREE-WALK(x.right)

查找

在二叉查找树中查找给定关键字的结点。

查找时间复杂度：O(h）

伪代码（采用迭代方式）

TREE-SEARCH(x,k)
while x != NULL and x.key != k
if k < x.left
x = x.left
else
x = x.right
return x

最大关键字元素和最小关键字元素

获得二叉查找树中的最小关键字或最大关键字的结点

时间复杂度：O(h)

(与《算法导论》不同，这里不假设给定结点不为NIL)

伪代码(最小关键字结点)

TREE-MINIMUM(x)
while x != NULL
x = x.left
return x

伪代码(最大关键字结点)

TREE-MAXIMUM(x)
while x != NULL
x = x.right
return x

前驱和后继

获得给定结点的前驱和后继结点

注意：这里前驱后继结点针对二叉查找数的中序遍历次序。

时间复杂度：O(h)

伪代码(后继,给定结点不为NIL)

TREE-SUCCESSOR(x)
if x.right != NULL
return TREE-MINIMUM(x.right)
y = x.p
while y != NULL and y.rig
ht == x
x = y
y = x.p
return y

伪代码(前驱,给定结点不为NIL)

TREE-PREDECESSOR(x)
if x.left != NULL
return TREE-MAXIMUM(x.left)
y = x.p
while y != NULL and y.left == x
x = y
y = y.p
return y

插入和删除

将新的结点插入到二叉查找树中或从二叉查找树中删除。

注意：新的结点z实际上由key值k给出，预先初始化结点z:z.key=k,z.left=NIL,z.right=NIL

时间复杂度：O(h)

伪代码（插入）

TREE-INSERT(T,z)
x = T.root
while x != NULL
y = x
if z.key < x.key
x = x.left
else
x = x.right
z.p = y
if x == NULL
T.root = z
else if z.key < y.key
y.left = z
else
y.right = z

二叉查找树结点的删除是一个比较复杂的操作。

如果z没有孩子，那么只是简单地将它删除，并修改它的父结点，用NIL作为孩子结点来替换z。

如果z只有一个孩子，那么将这个孩子提升到树中z的位置上，并修改z的父结点，用z的孩子来替换z。

如果z有两个孩子，那么找z的后继y（一定是在z的右子树中），并让y占据树中z的位置。z原来右子树的部分成为y的新右子树，并且z原来左子树的部分成为y的新左子树。

伪代码（子过程:用另一棵子树替换一棵子树并成为其双亲的孩子结点）

TRANSPLANT(T,u,v)
if u.p == NULL
T.root = v
else if u == u.p.left
u.p.left = v
else
u.p.right = v
if v != NULL
v.p = u.p

伪代码（删除）

TREE-DELETE(T,z)
if z.left == NULL
TRANSPLANT(T, z, z.right)
else if z.right == NULL
TRANSPLANT(T, z, z.left)
else
y = TREE-MINIMUM(T,z.right)
if y.p != z
TRANSPLANT(T, y, y.right)
y.right = z.right
y.right.p = y
TRANSPLANT(T,z,y)
y.left = z.left
y.left.p = y

随机构建二叉查找树

一棵用n个不同关键字的随机构建二叉查找树的期望高度为O(lgn)。

注意：《算法导论》给出了详细证明过程。

最坏情况分析

二叉查找树上述操作最坏情况是O(n)，此时一个数列有序，树退化成线性表，树的高度h = n。（先后插入的数本身是有序时会形成）