蚁群算法解决TSP问题的JAVA实现（一）

1.算法背景

关于基本的蚁群算法及TSP问题本文不做描述，可参考百度百科做简单了解：

蚁群算法

TSP问题

本程序主要实现了蚁群算法及其应用[1] 蚁群算法及其应用^{[1]} P26–2.3蚁周系统模型中所描述的算法，并依JAVA语言特性及问题规模做了小幅度修改。在该书的第二章还描述了另外两种基本的蚁群系统，蚁量系统及蚁密系统，因为普遍认为蚁周系统要优于另外两种系统，故本程序将实现蚁周系统。

2.数学模型

2.1.参数描述

城市规模为n，即有n座城市，从0 ~ n - 1对其进行编号；若i，j为其中的任意两个城市的编号，则有 i，j >= 0 && i , j <= n - 1。

dijd_{ij}：两城市i和j之间的距离；将任意两城市看作两个点，则此距离为二维平面上这两点间的直线距离；设定多个城市不可重叠在同一个点上，因此当i = j时，dij=0d_{ij}=0，但此时无意义；当i != j时，dij>0d_{ij}>0。又规定两城市间的距离向量是对称的，即有dij=djid_{ij} = d_{ji}。

ηij\eta_{ij}：由城市i转移到城市j的启发程度，即环境因素本身对蚂蚁选择判断的影响，这个值在蚁群系统的运行中不改变。在本算法中ηij=1/dij\eta_{ij} = 1 / d_{ij}，即i，j两城市的距离越短对蚂蚁选择的吸引力越大。又因dij=djid_{ij} = d_{ji}，则同样也有ηij=ηji\eta_{ij} = \eta_{ji}。

时刻t，为计算机模拟的实际环境时间；该时刻是离散而非连续的；从0时刻起，最小离散单位为1，即时刻为0，1，2，3，4，5···通常在1个时刻以内会发生蚂蚁移动一步这类的原子事件。

bi(t)b_i(t)：t时刻位于城市i的蚂蚁数目；有m=∑n−1i=0bi(t)m = \sum_{i=0}^{n-1}b_i(t)。

τij(t)\tau_{ij}(t)：城市i，j之间t时刻时边上的信息素轨迹强度，初始t=0时刻时，设置一个初始常量τij(t)=C\tau_{ij}(t) = C，其中C∈NC \in N。τij(t)∈N\tau_{ij}(t) \in N；当i=j时无实际意义；又因边具有对称的特性，故τij(t)=τji(t)\tau_{ij}(t) = \tau_{ji}(t)

Δτkij(t,t+Δt)\Delta\tau_{ij}^k(t,t+\Delta t)：在t时刻到t+Δtt+\Delta t时刻这Δt\Delta t的时间内，蚂蚁k在（i，j）城市间路段上产生的信息素量。同样，Δτkij(t,t+Δt)∈N\Delta\tau_{ij}^k(t,t+\Delta t) \in N且Δτkij(t,t+Δt)=Δτkji(t,t+Δt)\Delta\tau_{ij}^k(t,t+\Delta t) = \Delta\tau_{ji}^k(t,t+\Delta t)。

Δτij(t,t+Δt)\Delta\tau_{ij}(t,t+\Delta t)：在t时刻到t+Δtt+\Delta t时刻这Δt\Delta t的时间内，（i，j）城市间路段的信息素增量。有Δτij(t,t+Δt)=∑m−1k=0Δτkij(t,t+Δt)\Delta\tau_{ij}(t,t+\Delta t) = \sum_{k=0}^{m-1} \Delta\tau_{ij}^k(t,t+\Delta t)。同样，Δτij(t,t+Δt)∈N\Delta\tau_{ij}(t,t+\Delta t) \in N且Δτij(t,t+Δt)=Δτji(t,t+Δt)\Delta\tau_{ij}(t,t+\Delta t) = \Delta\tau_{ji}(t,t+\Delta t)。

τij(t+Δt)=ρ⋅τij(t)+Δτij(t,t+Δt)\tau_{ij}(t + \Delta t) = \rho·\tau_{ij}(t) + \Delta\tau_{ij}(t,t+\Delta t)，其中ρ∈[0,1]\rho \in [0,1]为τij(t)\tau_{ij}(t)在刷新信息素时的保留百分比；若为0则全部挥发，若为1则全部保留。

蚁群规模为m，即蚁群中有m只蚂蚁，从0 ~ m - 1对其进行编号；k为其中的任意1只蚂蚁的编号，则有 k >= 0 && k <= m - 1。

tabuktabu_k：蚂蚁k的禁忌表；初始时为空。每当蚂蚁到达一个城市都将该城市放到禁忌表中。因为tSP问题特性规定了除初始城市外每个城市都仅访问1次，故禁忌表长度固定为城市规模n；当禁忌表填满后，禁忌表中的城市顺序组成的路径即为TSP问题的一个解。

LkL_k：第k只蚂蚁在求得某解后所走过的路径长度；注意*该长度必须包括最后一个到访的城市到初始城市的距离，因为TSP问题要求回到初始城市*，Lk>0L_k > 0。

QQ：蚂蚁在求得一个解后在其路径上播撒的信息素总量。这是一个常量值且Q∈N+Q \in N^+

蚂蚁的运动速度与路径的实际长度无关；固定每个1个单位时间内可从某城市到达任意另一个城市。

Δτkij(t,t+Δt)=Q/Lk，如果蚂蚁k在某次循环中经过路径i，j
\Delta\tau_{ij}^k(t,t+\Delta t) = Q / L_k ，如果蚂蚁k在某次循环中经过路径i，j

Δτkij(t,t+Δt)=0，否则
\Delta\tau_{ij}^k(t,t+\Delta t) = 0 ，否则

因为(i,j)与(j,i)是同一条道路，故只要蚂蚁经过了(i,j)则Δτkij(t,t+Δt)\Delta\tau_{ij}^k(t,t+\Delta t) 与Δτkji(t,t+Δt)\Delta\tau_{ji}^k(t,t+\Delta t) 都应该加上该蚂蚁释放的信息素，这样才能确保对称

allowedkallowed_k：蚂蚁k下一步允许到达的城市。即所有不在蚂蚁禁忌表tabuktabu_k中的其他城市。

Pkij(t)=ταij(t)ηβij∑s∈allowedkταis(t)ηβis，j∈allowedk
P_{ij}^k(t) = \frac{\tau_{ij}^\alpha(t)\eta_{ij}^\beta}{\sum_{s \in allowed_k}\tau_{is}^\alpha(t)\eta_{is}^\beta}，j \in allowed_k

Pkij(t)=0，otherwise
P_{ij}^k(t) = 0，otherwise

Pkij(t)P_{ij}^k(t)表示若t时刻蚂蚁k位于城市i，则它到达城市j的概率； Pkij(t)∈[0,1]P_{ij}^k(t) \in [0,1]且Pkij(t)=Pkji(t)P_{ij}^k(t) = P_{ji}^k(t)。α\alpha和β\beta是两个常量，分别控制信息素信息及环境因素信息对蚂蚁选择城市的影响程度

bestWaybestWay：每轮找到的最优路径组成的数组；从当轮蚂蚁填满的禁忌表中筛选。标准为走过的长度LkL_k最短。

NcmaxN_{cmax}：常量，最大求解循环次数，当到达该次数后算法停止。Ncmax∈N+N_{cmax} \in N^+。

2.2.算法流程

2.2.1.初始化

初始化城市，及各常量参数；初始时刻为t=0

2.2.2.循环

【循环层1】共循环NcmaxN_{cmax}轮，每轮循环用时(n-1)个单位时间，发生如下事件：

本轮刚开始的时刻为t时刻，生成一个规模为m的蚁群，将m只蚂蚁随机放置到n个城市中，并将蚂蚁们的初始城市放入其禁忌表中。该操作不耗费时间。

【循环层1-1】循环n-1次，该循环结束后每只蚂蚁的禁忌表都将被填满，每只蚂蚁都访问了所有城市1次且仅一次，时间流逝了n-1个单位时间,每次：

1.时间t=t+1,表示每次循环时间都流逝了1个单位时间。

2.【循环层1-1-1】循环m次，这m次循环是在一个单位时间内同时并行发生的，每只蚂蚁都做如下动作：

蚂蚁依Pkij(t)P_{ij}^k(t)到达一座新的城市，同时将新的城市加入自己的禁忌表。

【循环层1-2】循环m次，遍历所有蚂蚁的禁忌表。

得到每只蚂蚁的LkL_k。

得到本轮的最优路径bestWaybestWay

将蚂蚁禁忌表中走过的路径播洒上信息素。Δt=n−1\Delta t = n - 1

将本轮的最优路径bestWaybestWay与全局的最优路径对比，若更优秀，则替换。

消灭当前的蚁群（杀死所有蚂蚁），然后休整一个单位时间，t=t+1。

2.2.3.统计结果

输出最终的全局最优路径，即为本算法得出的解。

2.3.简单的例子

为了便于理解，设计一个简单的小栗子。假如共有n=3座城市，蚁群中有m=1只蚂蚁，共进行3轮实验，则3轮中该蚂蚁的移动路线可能为：

时刻t	所在城市编号	所属轮数编号
0	0	0
1	1	0
2	2	0
3	2	1
4	1	1
5	0	1
6	1	2
7	2	2
8	0	2

以第2轮实验为例，禁忌表中经过城市为2-1-0；则将更新(2,1)=(1,2);(1,0)=(0,1)路段的信息素强度。【因为路段是对称的，故(i,j)及(j,i)都应更新】

详细代码设计将在后续博文给出。

参考文献

[1] 李世勇等.蚁群算法及其应用.哈尔滨.哈尔滨工业大学出版社.2004