【编程练习】正整数分解为几个连续自然数之和

题目：输入一个正整数，若该数能用几个连续正整数之和表示，则输出所有可能的正整数序列。

一个正整数有可能可以被表示为n(n>=2)个连续正整数之和，如：

15=1+2+3+4+5

15=4+5+6

15=7+8

有些数可以写成连续N（>1）个自然数之和，比如14=2+3+4+5；有些不能，比如8.那么如何判断一个数是否可以写成连续N个自然数之和呢？

一个数M若可以写成以a开头的连续n个自然数之和，则M=a+(a+1)+(a+2)+…+(a+n-1)=n*a+n*(n-1)/2，要求a!=0，否则就是以a+1开头的连续n-1个整数了，也就是要求(M-n*(n-1)/2)%n==0，这样就很容易判断一个数可不可以写成连续n个自然数的形式了，遍历n=2…sqrt(M)*2，还可以输出所有解。

void divide(int num)
{
int i,j,a;
for(i=2; i<=sqrt((float)num)*2; ++i)
{
if((num-i*(i-1)/2)%i==0)
{
a=(num-i*(i-1)/2)/i;
if(a>0)
{
for(j=0; j<i; ++j)
cout<<a+j<<" ";
}
cout<<endl;
}
}
}

第二个问题是什么样的数可以写成连续n个自然数之和，什么样的数不能？

通过编程实验发现，除了2^n以外，其余所有数都可以写成该形式。下面说明为什么。

若数M符合条件，则有M=a+(a+1)+(a+2)+…+(a+n-1)=(2*a+n-1)*n/2，而2*a+n-1与n肯定一个为奇数一个为偶数，即M一定要有一个奇数因子，而所有2^n都没有奇数因子，因此肯定不符合条件。

再证明只有M有一个奇数因子，即M!=2^n，M就可以写成连续n个自然数之和。假设M有一个奇数因子a，则M=a*b。

若b也是奇数，只要b-(a-1)/2>0，M就可以写成以b-(a-1)/2开头的连续a个自然数；将这条结论里的a和b调换，仍然成立。15=3*5=1+2+3+4+5=4+5+6.
若b是偶数，则我们有一个奇数a和一个偶数b。

2.1 若b-(a-1)/2>0，M就可以写成以b-(a-1)/2开头的连续a个自然数。24=3*8=7+8+9.
2.2 若(a+1)/2-b>0，M就可以写成以(a+1)/2-b开头的连续2*b个自然数。38=19*2=8+9+10+11.

上述两个不等式必然至少有一个成立，所以可以证明，只要M有一个奇数因子，就一定可以写成连续n个自然数之和。

另一个正整数分解的算法：

sum(i,j)为i累加到j的和

令 i=1 j=2

if sum(i,j)>N i++

else if sum(i,j)<N j++

else cout i...j

参考代码：

#include <iostream>
using namespace std;

int add(int m,int n)
{
int sum=0;
for(int i=m;i<=n;i++)
sum+=i;
return sum;
}

void divide(int num)
{
int i=1,j=2,flag;
int sum=0;
while(i<=num/2)
{
sum=add(i,j);
while(sum!=num)
{
if(sum>num)
i++;
else
j++;
sum=add(i,j);
}
for(int k=i;k<=j;k++)
cout<<k<<" ";
++i;
cout<<endl;
}
}

int main()
{
int num;
cout<<"Please input your number:"<<endl;
cin>>num;
divide(num);
return 0;
}