Codeforces Round #291 (Div. 2) E - Darth Vader and Tree （DP+矩阵快速幂）

这题想了好长时间，果断没思路。。于是搜了一下题解。一看题解上的”快速幂”这俩字，不对。。这仨字。。犹如醍醐灌顶啊。。。因为x的范围是10^9，所以当时想的时候果断把dp递推这一方法抛弃了。我怎么就没想到矩阵快速幂呢。。。。。。。还是太弱了。。sad。。100*100*100*log（10^9）的复杂度刚刚好。

于是，想到了矩阵快速幂后，一切就变得简单了。就可以把距离<=x的所有距离的点数都通过DP推出来，然后一个快速幂就解决了。

首先DP递推式很容易想到。递推代码如下：

for(i=1; i<=x; i++)
{
dp[i]=0;
for(j=1; j<=i; j++) {
dp[i]+=dp[i-j]*a[j];
}
}

dp[i]代表距离为i的点的个数。由于每段距离最大为100，也就是说下面的j的循环最多只有100次。那么就可以构造一个100*100的矩阵来实现这个递推过程。先处理出前100个dp值，然后套上矩阵快速幂就可以了。

代码如下：

#include <iostream>
#include <string.h>
#include <math.h>
#include <queue>
#include <algorithm>
#include <stdlib.h>
#include <map>
#include <set>
#include <stdio.h>
using namespace std;
#pragma comment(linker, "/STACK:102400000,102400000")
#define LL __int64
#define pi acos(-1.0)
const int mod=1e9+7;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const double eqs=1e-9;
LL a[102], dp[102], sum[102];
struct Matrix {
LL ma[102][102];
} init,res;
Matrix Mult(Matrix x, Matrix y)
{
Matrix tmp;
for(int i=0; i<101; i++) {
for(int j=0; j<101; j++) {
tmp.ma[i][j]=0;
for(int k=0; k<101; k++) {
tmp.ma[i][j]+=x.ma[i][k]*y.ma[k][j];
if(tmp.ma[i][j]>=mod) tmp.ma[i][j]%=mod;
}
}
}
return tmp;
}
Matrix Pow(Matrix x, int k)
{
Matrix tmp;
int i, j;
for(i=0; i<101; i++) for(j=0; j<101; j++) tmp.ma[i][j]=(i==j);
while(k) {
if(k&1) tmp=Mult(tmp,x);
x=Mult(x,x);
k>>=1;
}
return tmp;
}
int main()
{
int n, x, i, j, y;
while(scanf("%d%d",&n,&x)!=EOF) {
memset(a,0,sizeof(a));
memset(dp,0,sizeof(dp));
for(i=0; i<n; i++) {
scanf("%d",&y);
a[y]++;
}
dp[0]=1;
sum[0]=0;
for(i=1; i<=100; i++) {
for(j=1; j<=i; j++) {
dp[i]+=dp[i-j]*a[j];
if(dp[i]>=mod) dp[i]%=mod;
}
sum[i]=sum[i-1]+dp[i];
if(sum[i]>=mod) sum[i]%=mod;
}
if(x<=100) {
printf("%I64d\n",(sum[x]+1)%mod);
continue ;
}
memset(init.ma,0,sizeof(init.ma));
for(i=0; i<100; i++) {
init.ma[0][i]=init.ma[100][i]=a[i+1];
}
for(i=1; i<100; i++) {
init.ma[i][i-1]=1;
}
init.ma[100][100]=1;
res=Pow(init,x-100);
LL ans=(sum[100]*res.ma[100][100])%mod;
for(i=1; i<=100; i++) {
ans+=dp[i]*res.ma[100][100-i];
if(ans>=mod) ans%=mod;
}
printf("%I64d\n",(ans+1)%mod);
}
return 0;
}