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图像处理特征不变算子系列之KLT算子

2014-11-03 10:09 323 查看
正在前面的系列博文中,介绍了多种特征算子,在本文中将介绍由Kanade-Lucas两人在上世纪80年代在其论文:An Iterative Image Registration Technique with an Application to Stereo Vision中提出的一个算子,后来称为KLT算法。该算法最开始是一种图像点定位的方法,即图像的局部匹配,将图像匹配问题,从传统的滑动窗口搜索方法变为一个求解偏移量d的过程。后来,Jianbo
Shi和Carlo Tomasi两人在1994的CVPR上发表了篇论文:Good Features To Track,进一步对KLT算法进行了完善,并在该文中分析了在求解d的过程中,哪些情况下可以保证一定能够得到d的解,这些情况的点有什么特点(其实就是一些角点)。下面的内容将对论文中介绍的KLT算法进行详细地介绍与分析。

最初,KLT算法是为了解决图像配准问题(Registration Problem)而提出的,可以表述如下:对于给定的图像F(x)和G(x),需要找到一个视差向量(Disparity Vector)h使得F(x+h)与G(x)的差异最小,如下图:



F(x+h)与G(x)差异的典型度量方式有:



在上式中,为了求解视差向量h,需要计算各种可能的解空间下的F(x+h)与G(x)差异值,该种方式是一种非常耗时的计算。如果G(x)的大小是N×N,h的大小M×M,那么该种情况下的时间复杂度是O(M^2*N^2)。

首先,我们来看看一维情况下的图像配准问题,如下图,我们希望找到F(x)和G(x)=F(x+h)的水平视差h:



此种情况,我们一般是采用通过对x的邻域进行线性逼近的方式来实现,对于一个很小的h,有:



接着,通过对不同的x进行逼近得到的h进行平均,就可以得到h的估计:



然而,以上的逼近方式对于F(x)是平滑的区域有比较理想的效果,但是对于F(x)''比较大的区域,比较效果却很糟。因此,采用如下函数进行加权处理:



加权后的对h的估计就表示如下:



计算得到了h的估计后,就可以通过移动F(x)进行Newton-Raphson迭代,直至收敛,得到h的最好估计,迭代表示如下:



如果将上式泛化到多维情况,则可以表示如下:



其中,


Jianbo Shi和Carlo Tomasi两人在1994的CVPR上发表了篇论文:Good Features To Track中该该算子进行了扩展,通过一个仿射运动域来表示前面提到的h,则J(x)和I(x)表示为:





其中,A是一个变形矩阵(Deformation Matrix),d是一个平移向量(Translation Vector)。对于给定的两幅图I(x)和J(x),就是通过计算A和d,从而实现跟踪。

由于上式J(Ax+d)=I(x)不能很好的满足,因此求解A和d一般是通过对下式进行最小化求解:



其中W是一个给定的局部区域,w(x)是一个加权函数。这个式子的含义:即找到两副图像中,在W窗口中,I、J的差异,其中I以x-d/2为中心,J以x+d/2为中心,w/2为半径的一个矩形窗口间的差异,使函数ε(d)要取得最小值。结合微分只是,这个极值点的导数一定为0,即:





为了要使d能够得到解,则Z需要满足条件为:Z*Z'矩阵可逆。

KLT是一种优秀的算子,在目标跟踪系统中得到了广泛的应用。并且针对其速度的缺陷,现在也有基于GPU版本的加速KLT算法,具体的可以参考后面给出的参考资料。

更多资料可以参考:

1、KLT: An Implementation of the Kanade-Lucas-Tomasi Feature Tracker:http://www.ces.clemson.edu/~stb/klt/

2、Derivation of Kanade-Lucas-Tomasi Tracking Equation
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