菜鸟系列之C/C++经典试题(五)

求圆圈中剩下的最后一个数字
题目：n个数字（0,1,…,n-1）形成一个圆圈，从数字0开始，每次从这个圆圈中删除第m个数字（第一个为当前数字本身，第二个为当前数字的下一个数字）。当一个数字删除后，从被删除数字的下一个继续删除第m个数字。求出在这个圆圈中剩下的最后一个数字。

本题就是著名的约瑟夫环问题。

本题的解法我们比较容易想到用链表，当然我们可以自己写一个链表，也可以直接用stl库中的list，实现代码如下：

//使用标准库
int JosephusProblem_Solution2(int n, int m)
{
if(n < 1 || m < 1)
return -1;

list<int> listInt;
unsigned i;
//初始化链表
for(i = 0; i < n; i++)
listInt.push_back(i);

list<int>::iterator iterCurrent = listInt.begin();
while(listInt.size() > 1)
{
//前进m - 1步
for(i = 0; i < m-1; i++)
{
if(++iterCurrent == listInt.end())
iterCurrent = listInt.begin();
}
//临时保存删除的结点
list<int>::iterator iterDel = iterCurrent;
if(++iterCurrent == listInt.end())
iterCurrent = listInt.begin();
//删除结点
listInt.erase(iterDel);
}

return *iterCurrent;
}

分析：上面解法的时间复杂度为(n-1)*m，即(mn)。让我们试图来寻找一种更好的解法。

我们用归纳法来分析，假如我们能找到第n-1个数和第n个数关系，我们就可以一次递推到删除到1个数在2个数的位置，在3….n个数中的文字，最后得到解。

现在我们来找这个关系:

在这n个数字中，第一个被删除的数字是(m-1)%n，为简单起见记为k。那么删除k之后的剩下n-1的数字为0,1,…,k-1,k+1,…,n-1，并且下一个开始计数的数字是k+1。相当于在剩下的序列中，k+1排到最前面，从而形成序列k+1,…,n-1,0,…k-1。

k+1   ->    0

k+2    ->    1

…

n-1    ->    n-k-2

0       ->    n-k-1

…

k-1   ->   n-2

现在我们知道了有n-1个数时last的位置，记为f(n-1,m)，那么如何来求得f(n,m)关于f(n-1,m)之间的关系？用X,Y来表示，如下：

Y             X

k+1   ->    0

k+2    ->    1

…

n-1    ->    n-k-2

0       ->     n-k-1

…

k-1    ->    n-2

y=( x+k+1) %n

k = (m-1)%n

所以y=(x+m)%n，最终关系如下：

               0                             n=1

f(n,m)={

               [f(n-1,m)+m]%n     n>1

所以，我们可以用上面的是，最后剩下的数即n=1时要删除的数， n = 1
时， f(n, m ) = 0，由此我们知道, f（2，
m）…

代码如下：
int JosephusProblem_Solution4(int n, int m)
{
if(n < 1 || m < 1)
return -1;

vector<int> f(n+1,0);
for(unsigned i = 2; i <= n; i++)
f[i] = (f[i-1] + m) % i;

return f
;
}

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