数据结构_任意N个元素有多少种出栈顺序(卡特兰数证明)

折现法——卡特兰数证明

FROM： http://blog.sina.com.cn/s/blog_6917f47301010cno.html

1.饭后，姐姐洗碗，妹妹把姐姐洗过的碗一个一个地放进碗橱摞成一摞。一共有n个不同的碗，洗前也是摞成一摞的，也许因为小妹贪玩而使碗拿进碗橱不及时，姐姐则把洗过的碗摞在旁边，问：小妹摞起的碗有多少种可能的方式？

2.给定n个数，有多少种出栈序列？

3.一个有n个1和n个-1组成的字串，且前k个数的和均不小于0，那这种字串的总数为多少？

这三个问题具有相同的结构，三个问题是可以互相转化。将姐姐放碗看做入栈操作，将妹妹放碗看做出栈操作。则问题一变为问题二。将入栈操作记为1，出栈记为-1，问题2变为问题3。

问题的答案是一个著名的数列，卡特兰数。该问题的代数解法比较抽象，而运用到几何上，用图片来描述，却有让人恍然大悟的感觉。

事实上，可以认为问题是，任意两种操作，要求每种操作的总次数一样，且进行第k次操作2前必须先进行至少k次操作1。我们假设一个人在原点，操作1是此人沿右上角45°走一个单位（一个单位设为根号2，这样他第一次进行操作1就刚好走到（1,1）点），操作2是此人沿右下角45°走一个单位。第k次操作2前必须先进行至少k次操作1，就是说明所走出来的折线不能跨越x轴走到y=-1这条线上！在进行n次操作1和n此操作2后，此人必将到到达（2n，0）！若无跨越x轴的限制，折线的种数将为C（2n，n），即在2n次操作中选出n次作为操作1的方法数。



现在只要减去跨越了x轴的情况数。对于任意跨越x轴的情况，必有将与y=-1相交。找出第一个与y=-1相交的点k，将k点以右的折线根据y=-1对称（即操作1与操作2互换了）。可以发现终点最终都会从（2n，0）对称到（2n，-2）。由于对称总是能进行的，且是可逆的。我们可以得出所有跨越了x轴的折线总数是与从（0,0）到（2n,-2）的折线总数。而后者的操作2比操作1要多0-（-2）=2次。即操作1为n-1,操作2为n+1。总数为C（2n，n-1）。

n个元素进栈，共有多少种出栈顺序？

FROM:/article/8238317.html

近日在复习数据结构，看到栈的时候，发现1个元素进栈，有1种出栈顺序；2个元素进栈，有2种出栈顺序；3个元素进栈，有5种出栈顺序，那么一个很自然地问题就是n个元素进栈，共有多少种出栈顺序？

说来惭愧，以前学数据结构的时候竟然没有考虑过这个问题。最近在看动态规划，所以“子问题”这3个字一直在我脑中徘徊，于是解决这个问题的时候我也是用类似“子问题”的方法，说白了就是递推公式。

我们把n个元素的出栈个数的记为f(n), 那么对于1,2,3, 我们很容易得出：

f(1) = 1 //即
1

f(2) = 2
//即 12、21

f(3) = 5
//即 123、132、213、321、231

然后我们来考虑f(4), 我们给4个元素编号为a,b,c,d, 那么考虑：元素a只可能出现在1号位置，2号位置，3号位置和4号位置(很容易理解，一共就4个位置，比如abcd,元素a就在1号位置)。

分析：

1) 如果元素a在1号位置，那么只可能a进栈，马上出栈，此时还剩元素b、c、d等待操作，就是子问题f(3)；

2) 如果元素a在2号位置，那么一定有一个元素比a先出栈，即有f(1)种可能顺序（只能是b），还剩c、d，即f(2)， 根据乘法原理，一共的顺序个数为f(1) * f(2)；

3) 如果元素a在3号位置，那么一定有两个元素比1先出栈，即有f(2)种可能顺序（只能是b、c），还剩d，即f(1)，

根据乘法原理，一共的顺序个数为f(2) * f(1)；

4) 如果元素a在4号位置，那么一定是a先进栈，最后出栈，那么元素b、c、d的出栈顺序即是此小问题的解，即 f(3)；

结合所有情况，即f(4) = f(3) + f(2) * f(1) + f(1) * f(2) + f(3);

为了规整化，我们定义f(0) = 1；于是f(4)可以重新写为：

f(4) = f(0)*f(3) + f(1)*f(2) + f(2) * f(1) + f(3)*f(0)

然后我们推广到n，推广思路和n=4时完全一样，于是我们可以得到：

f(n) = f(0)*f(n-1) + f(1)*f(n-2) + ... + f(n-1)*f(0)

即



但这只是一个递推公式（若编程实现，需要维护一个一维数组，时间复杂度为O(n^2)）。怎么把它转化为通项公式呢，复杂度仅为O(1)?

于是上网搜索一下，原来真的有这么一个公式：C(2n,n)/(n+1)
（C(2n,n)表示2n里取n），并且有个名字叫Catalan数。附上wiki的链接，写得太详细了：http://en.wikipedia.org/wiki/Catalan_number

现在的问题就是：怎么从上述的递推公式求出C(2n,n)/(n+1) ? 有兴趣的朋友欢迎留言讨论！

//2013.6.4 update
根据网友u010896627的思路，我抽象了下问题，在知乎上问了个问题，其中有一个答案提出了“折现法”，从几何上推出了“n个元素进栈有多少个出栈顺序”这个问题的答案是C(2n,n)-C(2n,n-1)，化简一下即得Catalan
number。推荐大家看一看。