网络流 最小割最大流定理

有一个与最大流关系密切的问题：最小割。就是把所有的顶点分成两个集合S和T=V-S，其中源点s在集合S中，汇点t在集合T中。
如果把“起点在S中，终点在T中”的边都删除，就无法从s到达t了。我们把这样的集合划分（S，T）成为s-t割，它的容量定义为c(S,T)=∑c(u,v),其中u∈S，t∈T，即起点在S中，终点在T中的所有边的容量和

下面来开残量网络中没有增广路的情形。既然不存在增广路，在残量网络中s和t并不连通。当BFS没有找到任何s-t道路时，把已经标号结点（a[u]>0的结点u）集合看成S，另T=V-S，则在残量网络中S和T分离，因此在原图中跨越S和T的所有弧都是满载的，且没有从T回到S的流量（想想为什么），因此f（即最大流）=c（S，T）。所以在增广路算法结束时，f是s-t最大流，（S，T）是s-t最小割。

最大流算法，详情看这里。