线性规划与网络流24题之数字梯形问题 最大权不相交路径

http://acm.nefu.edu.cn/JudgeOnline/problemshow.php?problem_id=484

description

给定一个由n 行数字组成的数字梯形如下图所示。梯形的第一行有m 个数字。从梯形的顶部的m 个数字开始，在每个数字处可以沿左下或右下方向移动，形成一条从梯形的顶至底的路径。 规则1：从梯形的顶至底的m条路径互不相交。 规则2：从梯形的顶至底的m条路径仅在数字结点处相交。 规则3：从梯形的顶至底的m条路径允许在数字结点相交或边相交。 2 3 3 4 5 9 10 9 1 1 1 10 1 1 1 1 10 12 1 1 对于给定的数字梯形，分别按照规则1，规则2，和规则3 计算出从梯形的顶至底的m条路径，使这m条路径经过的数字总和最大。

input

多组数据输入. 每组输入第1 行中有2个正整数m和n（m,n<=20），分别表示数字梯形的第一行有m个数字，共有n 行。接下来的n 行是数字梯形中各行的数字。第1 行有m个数字，第2 行有m+1 个数字，…。

output

每组输出规则1，规则2，和规则3 计算出的最大数字总和,每行一个最大总和。

sample_input

2 5 2 3 3 4 5 9 10 9 1 1 1 10 1 1 1 1 10 12 1 1

sample_output

66 75 77

分析（引用BYvoid 大牛的分析）：

求图的最大权不相交路径及其变种，用费用最大流解决。

建模方法:
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

（Yran填加）在数字梯形的最下面再增加一行，使新增加的数字都是0如样例：

        2 5

2 3

3 4 5

9 10 9 1

1 1 10 1 1

1 1 10 12 1 1

0  0  0   0  0 0 0

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

规则(1)

把梯形中每个位置抽象为两个点<i.a>,<i.b>，建立附加源S 汇T。

1、对于每个点i 从<i.a>到<i.b>连接一条容量为1，费用为点i 权值的有向边。

2、从S 向梯形顶层每个<i.a>连一条容量为1，费用为0的有向边。

3、从梯形底层每个<i.b>向T 连一条容量为1，费用为0的有向边。

4、对于每个点i 和下面的两个点j，分别连一条从<i.b>到<j.a>容量为1，费用为0的有向边。

求最大费用最大流，费用流值就是结果。

规则(2)

把梯形中每个位置看做一个点i，建立附加源S 汇T。

1、从S 向梯形顶层每个i 连一条容量为1，费用为0的有向边。

2、从梯形底层每个i 向T 连一条容量为无穷大，费用为0的有向边。

3、对于每个点i 和下面的两个点j，分别连一条从i 到j 容量为1，费用为点i 权值的有向边。

求最大费用最大流，费用流值就是结果。

规则(3)

把梯形中每个位置看做一个点i，建立附加源S 汇T。

1、从S 向梯形顶层每个i 连一条容量为1，费用为0的有向边。

2、从梯形底层每个i 向T 连一条容量为无穷大，费用为0的有向边。

3、对于每个点i 和下面的两个点j，分别连一条从i 到j 容量为无穷大，费用为点i 权值的有向边。

求最大费用最大流，费用流值就是结果。

建模分析:

对于规则1，要求路径完全不相交，也就是每个点最多只能被访问了一次，所以要把点拆分，之间连接容量为1的边。因为任

意一条ST 之间的路径都是一个解，在拆分的点内部的边费用设为点的权值，求最大费用最大流就是费用最大的m 条路经。

对于规则2，要求路径可以相交，但不能有重叠，此时可以不必拆点了。为了保证路径没有重叠，需要在相邻的两个点上限制

流量为1，由于顶层的每个点只能用1次，S 向顶层点流量限制也为1。费用只需设在相邻点的边上，求最大费用最大流即可。

对于规则3，要求路径除了顶层每个点以外可以任意相交重叠。在规则2的基础上，取消除S 到顶层顶点之间的边以外所有边

的流量限制即可。

#include <stdio.h>
#include <iostream>
using namespace std;
//----------------------------------------------
//最小费用流模板
const int oo=1e9;
const int mm=11111;
const int mn=888;
int node,src,dest,edge;
int ver[mm],flow[mm],cost[mm],next[mm];
int head[mn],dis[mn],p[mn],q[mn],vis[mn];
void prepare(int _node,int _src,int _dest)
{
node=_node,src=_src,dest=_dest;
for(int i=0; i<node; ++i)
head[i]=-1,vis[i]=0;
edge=0;
}
void addedge(int u,int v,int f,int c)
{
ver[edge]=v,flow[edge]=f,cost[edge]=c,next[edge]=head[u],head[u]=edge++;
ver[edge]=u,flow[edge]=0,cost[edge]=-c,next[edge]=head[v],head[v]=edge++;
}
bool spfa()
{
int i,u,v,l,r=0,tmp;
for(i=0; i<node; ++i)
dis[i]=oo;
dis[q[r++]=src]=0;
p[src]=p[dest]=-1;
for(l=0; l!=r; (++l>=mn)?l=0:l) //循环队列
{
for(i=head[u=q[l]],vis[u]=0; i>=0; i=next[i])
if(flow[i]&&dis[v=ver[i]]>(tmp=dis[u]+cost[i]))
{
dis[v]=tmp;
p[v]=i^1;
if(vis[v])
continue;
vis[q[r++]=v]=1;
if(r>=mn)
r=0;
}
}
return p[dest]>-1;
}
int SpfaFlow()
{
int i,ret=0,delta;
while(spfa())
{
for(i=p[dest],delta=oo; i>=0; i=p[ver[i]])
if(flow[i^1]<delta)
delta=flow[i^1];
for(i=p[dest]; i>=0; i=p[ver[i]])
flow[i]+=delta,flow[i^1]-=delta;
ret+=delta*dis[dest];
}
return ret;
}
//------------------------------------------------------
struct note
{
int x,y,z;
}a[30][30];
int main()
{
int m,n;
while(~scanf("%d%d",&m,&n))
{
int cnt=1;
for(int i=0;i<n;i++)
for(int j=0;j<m+i;j++)
{
scanf("%d",&a[i][j].x);
}
//first
for(int i=0;i<n;i++)
for(int j=0;j<m+i;j++)
{
a[i][j].y=cnt++;
a[i][j].z=cnt++;
}
for(int i=0;i<n+m;i++)
{
a
[i].x=0;
a
[i].y=cnt++;
a
[i].z=cnt++;
}
prepare(cnt+2,0,cnt);
for(int i=0;i<=n;i++)
{
for(int j=0;j<m+i;j++)
{
if(i==0)
addedge(src,a[i][j].y,1,0);
addedge(a[i][j].y,a[i][j].z,1,-a[i][j].x);
if(i!=n)
{
addedge(a[i][j].z,a[i+1][j].y,1,0);
addedge(a[i][j].z,a[i+1][j+1].y,1,0);
}
if(i==n)
addedge(a[i][j].z,dest,oo,0);
}
}
int ans=SpfaFlow();
printf("%d\n",-ans);
//two
cnt=1;
for(int i=0;i<n;i++)
for(int j=0;j<m+i;j++)
{
a[i][j].y=cnt++;
}
for(int i=0;i<n+m;i++)
{
a
[i].x=0;
a
[i].y=cnt++;
}
prepare(cnt+2,0,cnt);
for(int i=0;i<=n;i++)
{
for(int j=0;j<m+i;j++)
{
if(i==0)
addedge(src,a[i][j].y,1,0);
if(i!=n)
{
addedge(a[i][j].y,a[i+1][j].y,1,-a[i][j].x);
addedge(a[i][j].y,a[i+1][j+1].y,1,-a[i][j].x);
}
if(i==n)
addedge(a[i][j].y,dest,oo,0);
}
}
ans=SpfaFlow();
printf("%d\n",-ans);
//three
prepare(cnt+2,0,cnt);
for(int i=0;i<=n;i++)
{
for(int j=0;j<m+i;j++)
{
if(i==0)
addedge(src,a[i][j].y,1,0);
if(i!=n)
{
addedge(a[i][j].y,a[i+1][j].y,oo,-a[i][j].x);
addedge(a[i][j].y,a[i+1][j+1].y,oo,-a[i][j].x);
}
if(i==n)
addedge(a[i][j].y,dest,oo,0);
}
}
ans=SpfaFlow();
printf("%d\n",-ans);
}
return 0;
}