MIT：算法导论——7.1.基本数据结构_栈、队列、链表、有根树

【教材：第10章 基本数据结构】

（1）栈——后进先出

说明：采用一个数组S[1...n]来实现一个最多容纳n个元素的栈。

S.top=0时，栈不包含任何元素，栈空。下溢，上溢：S.top超过n。

栈的几种操作：

STACK-EMPTY( S )
if S.top == 0
return true
else
return false
PUSH( S, x )// 数组尾部，栈顶入栈
if S.top == n
error "overflow"
else
S.top += 1
S[S.top] = x
POP( S )// 数组尾部，栈顶出栈
if STACK-EMPTY( S )
error "underflow"
else
S.top -= 1
return S[S.top + 1];

（2）队列——先进后出

说明：采用一个数组Q[1...n]来实现一个最多容纳n个元素的队列。

元素存放在Q.head,Q.head+1, ..., Q.tail - 1。

当Q.head = Q.tail时，队列为空；初始时Q.head = Q.tail = 1。

当Q.head = Q.tail + 1时，队列为满。

队列的几种操作：

//Q.tail处不存放内容，Q.head为第一个元素。

ENQUEUE( Q, x )// 队尾进队
if ( Q.tail + 1 ) % Q.length == Q.head
error "overflow"
else
Q[Q.tail] = x
Q.tail = ( Q.tail + 1 ) % Q.length
DEQUEUE( Q )// 队首出队
if Q.head == Q.tail
error "underflow"
else
x = Q[Q.head]
Q.head = ( Q.head + 1 ) % Q.length
return x

【双端队列】插入和删除操作都可以在两端进行，四个时间均为O(1)的过程，用数组实现。

（3）链表(linked list)

【双向链表】(doublely linked list),

其每个元素是一个对象，每个对象有一个关键字key和两个指针：next和pre。

x.pre = NULL，没有前驱，为链表头；x.next = NULL,没有后继，为链表尾。L.head = NULL，链表空。

（1）链表搜索
LIST-SEARCH( L, k )
x = L.head
while x != NULL && x.key != k
x = x.next
return x// 经典&犀利呀：2014-6-12 10:04:18
（2）链表插入
LIST-INSERT( L, x )// x是一个关键字为k的元素，将其插入链表前端
x.next = L.head
x.pre = NULL
if L.head != NULL
L.head.pre = x
L.head = x
（3）链表删除
LIST-DELETE( L, x )
if L.head == x
L.head = x.next
else
x.pre.next = x.next
if x.next != NULL
x.next.pre = x.pre

【带哨兵的双向链表】设置L.nil对象，链表转为有哨兵的双向循环链表，使得NULL都替换为L.nil

// 初始时L.nil.next = L.nil, L.nil.pre = L.nil。

（1）链表搜索
LIST-SEARCH'( L, k )
x = L.head
while x != L.nil && x.key != k
x = x.next
return x// 经典&犀利呀：2014-6-12 10:04:18
（2）链表插入
LIST-INSERT'( L, x )// x是一个关键字为k的元素，将其插入链表前端
x.next = L.nil.next
x.pre = L.nil
L.nil.next.pre = x
L.nil.next = x
（3）链表删除
LIST-DELETE'( L, x )
x.pre.next = x.next
x.next.pre = x.pre

【循环链表】表头元素的pre指针指向表尾元素，表尾元素的next指针指向表头元素。

（4）有根树的表示

本节讨论与链式数据结构表示有根树的问题。

【二叉树】

结点元素，p：父结点，left：左孩子，right：右孩子。

x.p = NULL，则x是根结点；x.left = NULL，x没有左孩子；x.right类似。

T.root指向整棵树的根结点，T.root = NULL，则该树为空。

【分支无限制的有根树】

孩子分支固定为k的，可以用child1,child2, ...,childk表示。

当孩子数任意时，可以用左孩子右兄弟表示法(left-child, right-sibling representation)。

每个结点包括一个父结点指针p，以及：

（1）x.left-child指向结点x最左边的孩子结点。

（2）x.right-sibling指向x右侧相邻的兄弟结点。

【树的其他表示法】

例如：完全二叉树使用堆来表示，堆用一个单数组加上堆的最末结点的下标表示。

哪种方法最优取决于具体应用

=====================具体C++代码实现==============================================

不带哨兵的双向链表的模板实现：功能属性标准STL List

// 为保证唯一性，头文件的命名应基亍其所在项目源代码树的全路径。
// 例如，项目foo中的头文件foo/src/bar/baz.h挄如下方式保护：
#ifndef FOO_BAR_BAZ_H_
#define FOO_BAR_BAZ_H_

#endif // FOO_BAR_BAZ_H_

#ifndef ALGORITHM_LIST_H_
#define ALGORITHM_LIST_H_
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <string>
#include <stdexcept>

using namespace std;

#define BETTER

template<class T>
class List;
#ifdef BETTER
template<class T>
ostream& operator<<( ostream&, const List<T>& );
#endif

template<class T>
class Node{
friend List<T>;
#ifdef BETTER
friend ostream& operator<< <T>( ostream&, const List<T>& );
#endif
public:
Node( const T& tIn = 0 ) : data( tIn ){}
private:
T data;
Node<T> *pre, *next;
};

// 其每个元素是一个对象，每个对象有一个关键字key和两个指针：next和pre。
// x.pre = NULL，没有前驱，为链表头；
// x.next = NULL,没有后继，为链表尾。
// L.head = NULL，链表空。
template<class T>// 插入、删除的都是T值
class List{
#ifdef BETTER
friend ostream& operator<< <T>( ostream&, const List<T>& );
#endif

public:
List(void){ head = NULL; }// NULL = 0
~List(void);
Node<T>* Search( T& k ) const;
List<T>& Insert( Node<T>* x );// 插入在头部
List<T>& Delete( Node<T>* x );
List<T>& Insert( int k, const T& x);// k[0...]
List<T>& Delete( int k, T& x);// k[1...]
void Output( ostream& ) const;
private:
Node<T> *head;
};

template<class T>
List<T>::~List(void)
{
Node<T> *nextNode;

while( head != NULL ){
// 异常安全性，先不要改变head
nextNode = head->next;
delete head;
head = nextNode;
}
}

template<class T>
Node<T>* List<T>::Search( T& k ) const
{
Node<T> *x;

while( x != NULL && x->data != k )
x = x->next;
return x;
}

// x是一个关键字为k的元素，将其插入链表前端
template<class T>
List<T>& List<T>::Insert( Node<T>* x )
{// 插入在头部
x->next = head;
x->pre = NULL;
if( head != NULL )
head->pre = x;
head = x;
return *this;
}

template<class T>
List<T>& List<T>::Delete( Node<T>* x )
{
if( head == x )
head = x->next;
else
x->pre->next = x->next;
if( x->next != NULL )
x->next->pre = x->pre;
return *this;
}

template<class T>
List<T>& List<T>::Insert( int k, const T& x)
{// 在第k个元素之后，插入x。有效位置[1...],故x=0代表在链表首部插入
if( k < 0 )
throw out_of_range( "不存在第k个元素" );
int index = 1;
Node<T> *cur = head;

while( index < k && cur ){
cur = cur->next;
++index;
}
//if( index != k )// 因为k可以等于0，此时不等于index
if( k > 0 && cur == NULL )// 链表本身可能为空
throw out_of_range( "不存在第k个元素" );

Node<T> *nodeIn = new Node<T>;
nodeIn->data = x;
if( k != 0 ){
nodeIn->next = cur->next;
nodeIn->pre = cur;
cur->next = nodeIn;
}else{
nodeIn->next = head;
nodeIn->pre = NULL;
head = nodeIn;
}
if( nodeIn->next != NULL )
nodeIn->next->pre = nodeIn;

return *this;
}
template<class T>
List<T>& List<T>::Delete( int k, T& x)
{
if( k < 1 )
throw out_of_range( "不存在第k个元素" );
Node<T> *cur = head, *pre = NULL;
int index = 1;

//while( index < k && cur ){
//	cur = cur->next;
//	++index;
//}
//if( cur == NULL )
//	throw out_of_range( "不存在第k个元素" );

// 可以只用一个指针来完成
pre = head;
while( index < k - 1 && pre ){
pre = pre->next;
++index;
}
if( pre == NULL || pre->next == NULL )
throw out_of_range( "不存在第k个元素" );

cur = pre->next;
pre->next = cur->next;

x = cur->data;
delete cur;

return *this;
}

template<class T>
void List<T>::Output( ostream& out ) const
{
Node<T> *cur = head;

while( cur != NULL ){
out << cur->data << "\t";
cur = cur->next;
}
}

#ifdef BETTER
template<class T>
ostream& operator<<( ostream& out, const List<T>& L )
{
Node<T> *cur = L.head;

while( cur != NULL ){
out << cur->data << "\t";
cur = cur->next;
}
return out;
}
#elif 0
template<class T>
ostream& operator<<( ostream& out, const List<T>& L )
{
L.Output( out );
return out;
}
#endif

#endif // ALGORITHM_LIST_H_

#if 0
对了,因为模板没法实现 声明和定义分离.
所以有使用到模板的定义都必须放到.h里面..
#endif

【教训】对于模板类、模板函数、模板重载操作符，用友元授权时，都要用如下格式：名称<T>。

测试程序——

#include "List.h"
#include <iostream>

using namespace std;

int main( void )
{
cout << "2014-6-14 15:23:17" << endl;
List<int> L;

Node<int> *pTmp = NULL;
int i;
for( i = 0; i < 10; ++i ){
Node<int> *x = new Node<int>( i * 2 );
pTmp = x;
//x->data = i * 2;
L.Insert( x );// 插入在头部
}
cout << L << endl;

int x;
L.Delete( pTmp );// 删除最后插入的结点，在头部
L.Delete( --i, x );// 删除尾部的结点
cout << L << endl;

L.Insert( --i, x );// 将删除的结点再插入尾部
cout << L << endl;
L.Insert( 0, x ); // 将删除的结点插入头部
cout << L << endl;
//	List<int> L;

return 0;
}

测试结果——



待写。。。

=====================博客补充======================================================

1、栈和队列

　　栈和队列都是动态集合，元素的出入是规定好的。栈规定元素是先进后出（FILO），队列规定元素是先进先出（FIFO）。栈和队列的实现可以采用数组和链表进行实现。在标准模块库STL中有具体的应用，可以参考http://www.cplusplus.com/reference/。

　　栈的基本操作包括入栈push和出栈pop，栈有一个栈顶指针top，指向最新如栈的元素，入栈和出栈操作操作都是从栈顶端进行的。

　　队列的基本操作包括入队enqueue和出队dequeue，队列有队头head和队尾tail指针。元素总是从队头出，从队尾入。采用数组实现队列时候，为了合理利用空间，可以采用循环实现队列空间的有效利用。

　　关于栈和队列的基本操作如下图所示：


采用数组简单实现一下栈和队列，实现队列时候，长度为n的数组最多可以含有n-1个元素，循环利用，这样方便判断队列是空还是满。

问题：

（1）说明如何用两个栈实现一个队列，并分析有关队列操作的运行时间。

解答：栈中的元素是先进后出，而队列中的元素是先进先出。现有栈s1和s2，s1中存放队列中的结果，s2辅助转换s1为队列。入队列操操作：当一个元素入队列时，先判断s1是否为空，如果为空则新元素直接入s1，如果非空则将s1中所有元素出栈并存放到s2中，然后在将元素入s1中，最后将s2中所有元素出栈并入s1中。此时s1中存放的即是队列入队的顺序。出队操作：如果s1为空，则说明队列为空，非空则s1出栈即可。入队过程需要在s1和s2来回交换，运行时间为O(n)，出队操作直接是s1出栈运行时间为O(1)。举例说明转换过程，如下图示：


（2）说明如何用两个队列实现一个栈，并分析有关栈操作的运行时间。

解答：类似上面的题目，队列是先进先出，而栈是先进后出。现有队列q1和q2，q1中存放的是栈的结果，q2辅助q1转换为栈。入栈操作：当一个元素如栈时，先判断q1是否为空，如果为空则该元素之间入队列q1，如果非空则将q1中的所有元素出队并入到q2中，然后将该元素入q1中，最后将q2中所有元素出队并入q1中。此时q1中存放的就是栈的如栈顺序。出栈操作：如果q1为空，则栈为空，否则直接q1出队操作。入栈操作需要在队列q1和q2直接来来回交换，运行时间为O(n)，出栈操作是队列q1出队操作，运行时间为O(1)。我用C++语言实现完整程序如下：

2、链表

　　链表与数组的区别是链表中的元素顺序是有各对象中的指针决定的，相邻元素之间在物理内存上不一定相邻。采用链表可以灵活地表示动态集合。链表有单链表和双链表及循环链表。书中着重介绍了双链表的概念及操作，双链表L的每一个元素是一个对象，每个对象包含一个关键字和两个指针：next和prev。链表的操作包括插入一个节点、删除一个节点和查找一个节点，重点来说一下双向链表的插入和删除节点操作，图例如下：


链表是最基本的数据结构，凡是学计算机的必须的掌握的，在面试的时候经常被问到，关于链表的实现，百度一下就知道了。在此可以讨论一下与链表相关的练习题。

（1）在单链表上插入一个元素，要求时间复杂度为O(1)。

解答：一般情况在链表中插入一元素是在末尾插入的，这样需要从头遍历一次链表，找到末尾，时间为O(n)。要在O(1)时间插入一个新节点，可以考虑每次在头节点后面插入，即每次插入的节点成为链表的第一个节点。

（2）在单链表上删除一个给定的节点p，要求时间复杂度为O(1)。

解答：一般情况删除一个节点时候，我们需要找到该节点p的前驱节点q，需要对链表进行遍历，运行时间为O(n-1)。我们可以考虑先将q的后继节点s的值替换q节点值，然后删除s即可。如下图删除节点q的操作过程：



（3）单链表逆置，不允许额外分配存储空间，不允许递归，可以使用临时变量，执行时间为O(n)。

解答：这个题目在面试笔试中经常碰到，基本思想上将指针逆置。如下图所示：


（4）遍历单链表一次，找出链表中间节点。

解答：定义两个指针p和q，初始都指向链表头节点。然后开始向后遍历，p每次移动2步，q移动一步，当p到达末尾的时候，p正好到达了中间位置。

（5）用一个单链表L实现一个栈，要求push和pop的操作时间为O(1)。

解答：根据栈中元素先进后出的特点，可以在链表的头部进行插入和删除操作。

（6）用一个单链表L实现一个队列，要求enqueue和dequeue的操作时间为O(1)。

解答：队列中的元素是先进先出，在单链表结构中增加一个尾指针，数据从尾部插入，从头部删除。

3、有根树的表示

　　采用链表数据结构来表示树，书中先降二叉树的链表表示法，然后拓展到分支数无限制的有根数。先来看看二叉树的链表表示方法，用域p、left和right来存储指向二叉树T中的父亲、左孩子和右孩子的指针。如下图所示：



　　对于分支数目无限制的有根树，采用左孩子、右兄弟的表示方法。这样表示的树的每个节点都包含有一个父亲指针p，另外两个指针：

（1）left_child指向节点的最左孩子。

（2）right_sibling指向节点紧右边的兄弟。