平衡二叉查找树的一些知识总结
2014-05-21 12:01
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平衡二叉查找树的一些知识总结
一、首先说明一下二叉查找树的定义:
二叉查找树的定义:二叉排序树(Binary Sort Tree)又称二叉查找树(Binary Search Tree),亦称二叉搜索树。 它或者是一棵空树;或者是具有下列性质的二叉树: (1)若左子树不空,则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值; (2)若右子树不空,则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值; (3)左、右子树也分别为二叉排序树。
二叉查找树支持动态的插入和查找,保证操作在O(height)时间。但是二叉树有可能出现worst-case,如果输入序列已经排序,则时间复杂度为O(N)。
平衡二叉树就是为了将查找的时间复杂度保证在O(logN)范围内。
二、再来说明一下平衡二叉查找树的定义:
平衡二叉树的定义 (AVL—— 发明者为Adel'son-Vel'skii 和 Landis):平衡二叉查找树,又称 AVL树。 它除了具备二叉查找树的基本特征之外,还具有一个非常重要的特点:它 的左子树和右子树都是平衡二叉树,且左子树和右子树的深度之差的绝对值(平衡因子 ) 不超过1。 也就是说AVL树每个节点的平衡因子只可能是-1、0和1(左子树高度减去右子树高度)。
三、平衡二叉查找树的应用:
平衡二叉查找树可用于表示有序的线性数据结构,如优先队列、关联数组、键-值的映射等。自平衡的二叉查找树的实现与其竞争对手hash表的实现,各具有优缺点。自平衡二叉查找树在按序遍历所有键值时是量级最优的,hash表不能。自平衡二叉查找树在查找一个键值时,最坏情况下时间复杂度优于hash表, O(log n)对比O(n);但平均时间复杂度逊于hash表,O(log n)对比O(1)。自平衡二叉查找树的排序方法,虽然在平均时间复杂度上也是O(n log n),但由于cache性能、树的调整操作等,性能上不如快速排序、堆排序、合并排序。
为了构造平衡二叉树,有以下一些著名的算法(均为百度百科链接):
AA树
AVL树 (经典平衡树, 所有操作的最坏复杂度都是O(log{n})的。)
红黑树
伸展树
树堆
节点大小平衡树
红黑树与AVL的比较:
AVL是严格平衡树,因此在增加或者删除节点的时候,根据不同情况,旋转的次数比红黑树要多;
红黑是用非严格的平衡来换取增删节点时候旋转次数的降低;
所以简单说,如果你的应用中,搜索的次数远远大于插入和删除,那么选择AVL,如果搜索,插入删除次数几乎差不多,应该选择RB。
二分查找与用平衡二叉树查找的区别:
二分查找针对的是连续的数据结构,如数组,且该数组应该是已经排序好的。此时二分查找可以快速O(1)时间内定位到中间值,故可以在O(log n)时间内完成查找操作。
用平衡二叉树进行查找,针对的应该是链表形式的数据结构,带有左右指针的结点。通过上面的几种算法完成平衡二叉树的构造,然后就可以从根结点开始,进行查找操作,时间复杂度同样为O(log n)。
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