哈夫曼树(二)之 C++详解

哈夫曼树的介绍

Huffman Tree，中文名是哈夫曼树或霍夫曼树，它是最优二叉树。

定义：给定n个权值作为n个叶子结点，构造一棵二叉树，若树的带权路径长度达到最小，则这棵树被称为哈夫曼树。
这个定义里面涉及到了几个陌生的概念，下面就是一颗哈夫曼树，我们来看图解答。





(01) 路径和路径长度


(02) 结点的权及带权路径长度


(03) 树的带权路径长度



比较下面两棵树





上面的两棵树都是以{10, 20, 50, 100}为叶子节点的树。


左边的树WPL > 右边的树的WPL。你也可以计算除上面两种示例之外的情况，但实际上右边的树就是{10,20,50,100}对应的哈夫曼树。至此，应该堆哈夫曼树的概念有了一定的了解了，下面看看如何去构造一棵哈夫曼树。

哈夫曼树的图文解析

假设有n个权值，则构造出的哈夫曼树有n个叶子结点。 n个权值分别设为 w1、w2、…、wn，哈夫曼树的构造规则为：



以{5,6,7,8,15}为例，来构造一棵哈夫曼树。





第1步：创建森林，森林包括5棵树，这5棵树的权值分别是5,6,7,8,15。

第2步：在森林中，选择根节点权值最小的两棵树(5和6)来进行合并，将它们作为一颗新树的左右孩子(谁左谁右无关紧要，这里，我们选择较小的作为左孩子)，并且新树的权值是左右孩子的权值之和。即，新树的权值是11。 然后，将"树5"和"树6"从森林中删除，并将新的树(树11)添加到森林中。

第3步：在森林中，选择根节点权值最小的两棵树(7和8)来进行合并。得到的新树的权值是15。 然后，将"树7"和"树8"从森林中删除，并将新的树(树15)添加到森林中。

第4步：在森林中，选择根节点权值最小的两棵树(11和15)来进行合并。得到的新树的权值是26。 然后，将"树11"和"树15"从森林中删除，并将新的树(树26)添加到森林中。

第5步：在森林中，选择根节点权值最小的两棵树(15和26)来进行合并。得到的新树的权值是41。 然后，将"树15"和"树26"从森林中删除，并将新的树(树41)添加到森林中。

此时，森林中只有一棵树(树41)。这棵树就是我们需要的哈夫曼树！

哈夫曼树的基本操作

哈夫曼树的重点是如何构造哈夫曼树。本文构造哈夫曼时，用到了以前介绍过的"(二叉堆)最小堆"。下面对哈夫曼树进行讲解。

1. 基本定义

template <class T>
class HuffmanNode{
public:
T key;              // 权值
HuffmanNode *left;  // 左孩子
HuffmanNode *right; // 右孩子
HuffmanNode *parent;// 父结点

HuffmanNode(){}
HuffmanNode(T value, HuffmanNode *l, HuffmanNode *r, HuffmanNode *p):
key(value),left(l),right(r),parent(p) {}
};

HuffmanNode是哈夫曼树的节点类。

template <class T>
class Huffman {
private:
HuffmanNode<T> *mRoot;  // 根结点

public:
Huffman();
~Huffman();

// 前序遍历"Huffman树"
void preOrder();
// 中序遍历"Huffman树"
void inOrder();
// 后序遍历"Huffman树"
void postOrder();

// 创建Huffman树
void create(T a[], int size);
// 销毁Huffman树
void destroy();

// 打印Huffman树
void print();
private:
// 前序遍历"Huffman树"
void preOrder(HuffmanNode<T>* tree) const;
// 中序遍历"Huffman树"
void inOrder(HuffmanNode<T>* tree) const;
// 后序遍历"Huffman树"
void postOrder(HuffmanNode<T>* tree) const;

// 销毁Huffman树
void destroy(HuffmanNode<T>* &tree);

// 打印Huffman树
void print(HuffmanNode<T>* tree, T key, int direction);
};

Huffman是哈夫曼树对应的类，它包含了哈夫曼树的根节点和哈夫曼树的相关操作。

2. 构造哈夫曼树

/*
* 创建Huffman树
*
* 参数说明：
*     a 权值数组
*     size 数组大小
*
* 返回值：
*     Huffman树的根节点
*/
template <class T>
void Huffman<T>::create(T a[], int size)
{
int i;
HuffmanNode<T> *left, *right, *parent;
MinHeap<T> *heap = new MinHeap<T>();

// 建立数组a对应的最小堆
heap->create(a, size);

for(i=0; i<size-1; i++)
{
left = heap->dumpFromMinimum();  // 最小节点是左孩子
right = heap->dumpFromMinimum(); // 其次才是右孩子

// 新建parent节点，左右孩子分别是left/right；
// parent的大小是左右孩子之和
parent = new HuffmanNode<T>(left->key+right->key, left, right, NULL);
left->parent = parent;
right->parent = parent;

// 将parent节点数据拷贝到"最小堆"中
if (heap->copyOf(parent)!=0)
{
cout << "插入失败!" << endl << "结束程序" << endl;
destroy(parent);
parent = NULL;
break;
}
}

mRoot = parent;

// 销毁最小堆
heap->destroy();
delete heap;
}

首先通过heap->create(a, size)来创建最小堆。最小堆构造完成之后，进入for循环。

每次循环时：


在二叉堆中已经介绍过堆，这里就不再对堆的代码进行说明了。若有疑问，直接参考后文的源码。其它的相关代码，也Please RTFSC(Read The Fucking Source Code)！

哈夫曼树的完整源码

哈夫曼树的源码共包括4个文件。

1. 哈夫曼树的节点类(HuffmanNode.h)

2. 哈夫曼树的实现文件(Huffman.h)

3. 哈夫曼树对应的最小堆(MinHeap.h)

4. 哈夫曼树的测试程序(HuffmanTest.cpp)