（基于Java）算法之动态规划——0-1背包问题

动态规划的定义不解释，请读者移步到本博“最大K乘积问题”的博文中。

0-1背包问题描述：给定n种物品和一个背包。物品i的重量是wi，其价值为vi，背包的容量为c。问应如何选择装入背包中的物品，使得装入背包中的物品的总价值最大？

在本篇博文中，我将介绍如何用动态规划的方法来解决该问题。

首先，我们要找出原问题的最优子结构性质：

设x{x1,x2,x3......xn-1,xn}是最优解.


则x'{x2,x3,x4.......xn-1,xn}是子问题的最优解。

准备工作：

变量c用来表示背包的容量，变量n用来表示物品个数
一维数组w[]，v[]，分别用来存储物品i的重量和价值，为了方便第i个物品对应下标i，新建数组时可把数组长度设定为n+1
二维数组m[][]，用来存储每个子问题的最优解，该二维数组的行列数最少都要n行c+1列（物品n个，重量c，算上0的话，一共c+1），为了方便第i个物品对应下标i，行数可以定义成n+1

解决方法：

解决办法是用自底向上的填表法。

先看看这个问题的递归方程：



下面我贴出填表法的代码

public static int fun(int[] v, int[] w, int n, int c){
int[][] m = new int[n+1][c+1];
int i,j;
int jMax = getMin(w[n-1],c);
/*
* 这个for循环和下一个for循环的目的是利用vi进行初始化，
* 自己在张纸上手动填一下就知道为什么j的循环那么奇怪了。
*/
for(j = 0; j<=jMax; j++)
m
[j] = 0;
for(j = w
; j<=c; j++)
m
[j] = v
;
/*
* 在这个for循环中进行比较填入
*/
for(i = n-1; i>=1; i--){
jMax = getMin(w[i]-1,c);
for(j = 0; j<=jMax;j++)
m[i][j] = m[i+1][j];
for(j = w[i]; j<=c; j++)
m[i][j] = getMax(m[i+1][j],v[i]+m[i+1][j-w[i]]);
}
/*
* 因为填表方法是自底向上填表，因此，当i=1时，m[1][c]内
* 填入的数就是原问题的解，先将第一个子问题的最优解（即m[2][c]）
* 填入，以防用0来做下一步的比较，后边的比较应该能看懂吧~不多说了
*/
m[1][c] = m[2][c];
if(c >= w[1])
m[1][c] = getMax(m[1][c],v[1]+m[2][c-w[1]]);
return m[1][c];
}

如有不对的地方或更好的建议，欢迎评论留言！