堆排序

概要

本章介绍排序算法中的堆排序。

目录
1. 堆排序介绍
2. 堆排序图文说明
3. 堆排序的时间复杂度和稳定性
4. 堆排序实现
4.1 堆排序C实现
4.2 堆排序C++实现
4.3 堆排序Java实现

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更多排序和算法请参考：数据结构与算法系列 目录

堆排序介绍

堆排序(Heap Sort)是指利用堆这种数据结构所设计的一种排序算法。
因此，学习堆排序之前，有必要了解堆！若读者不熟悉堆，建议先了解堆(建议可以通过二叉堆，左倾堆，斜堆，二项堆或斐波那契堆等文章进行了解)，然后再来学习本章。

我们知道，堆分为"最大堆"和"最小堆"。最大堆通常被用来进行"升序"排序，而最小堆通常被用来进行"降序"排序。
鉴于最大堆和最小堆是对称关系，理解其中一种即可。本文将对最大堆实现的升序排序进行详细说明。

最大堆进行升序排序的基本思想：
① 初始化堆：将数列a[1...n]构造成最大堆。
② 交换数据：将a[1]和a
交换，使a
是a[1...n]中的最大值；然后将a[1...n-1]重新调整为最大堆。 接着，将a[1]和a[n-1]交换，使a[n-1]是a[1...n-1]中的最大值；然后将a[1...n-2]重新调整为最大值。 依次类推，直到整个数列都是有序的。

下面，通过图文来解析堆排序的实现过程。注意实现中用到了"数组实现的二叉堆的性质"。
在第一个元素的索引为 0 的情形中：
性质一：索引为i的左孩子的索引是 (2*i+1);
性质二：索引为i的左孩子的索引是 (2*i+2);
性质三：索引为i的父结点的索引是 floor((i-1)/2);

/**
* 堆排序：Java
*
* @author skywang
* @date 2014/03/11
*/

public class HeapSort {

/*
* (最大)堆的向下调整算法
*
* 注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。
*     其中，N为数组下标索引值，如数组中第1个数对应的N为0。
*
* 参数说明：
*     a -- 待排序的数组
*     start -- 被下调节点的起始位置(一般为0，表示从第1个开始)
*     end   -- 截至范围(一般为数组中最后一个元素的索引)
*/
public static void maxHeapDown(int[] a, int start, int end) {
int c = start;            // 当前(current)节点的位置
int l = 2*c + 1;        // 左(left)孩子的位置
int tmp = a[c];            // 当前(current)节点的大小

for (; l <= end; c=l,l=2*l+1) {
// "l"是左孩子，"l+1"是右孩子
if ( l < end && a[l] < a[l+1])
l++;        // 左右两孩子中选择较大者，即m_heap[l+1]
if (tmp >= a[l])
break;        // 调整结束
else {            // 交换值
a[c] = a[l];
a[l]= tmp;
}
}
}

/*
* 堆排序(从小到大)
*
* 参数说明：
*     a -- 待排序的数组
*     n -- 数组的长度
*/
public static void heapSortAsc(int[] a, int n) {
int i,tmp;

// 从(n/2-1) --> 0逐次遍历。遍历之后，得到的数组实际上是一个(最大)二叉堆。
for (i = n / 2 - 1; i >= 0; i--)
maxHeapDown(a, i, n-1);

// 从最后一个元素开始对序列进行调整，不断的缩小调整的范围直到第一个元素
for (i = n - 1; i > 0; i--) {
// 交换a[0]和a[i]。交换后，a[i]是a[0...i]中最大的。
tmp = a[0];
a[0] = a[i];
a[i] = tmp;
// 调整a[0...i-1]，使得a[0...i-1]仍然是一个最大堆。
// 即，保证a[i-1]是a[0...i-1]中的最大值。
maxHeapDown(a, 0, i-1);
}
}

/*
* (最小)堆的向下调整算法
*
* 注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。
*     其中，N为数组下标索引值，如数组中第1个数对应的N为0。
*
* 参数说明：
*     a -- 待排序的数组
*     start -- 被下调节点的起始位置(一般为0，表示从第1个开始)
*     end   -- 截至范围(一般为数组中最后一个元素的索引)
*/
public static void minHeapDown(int[] a, int start, int end) {
int c = start;            // 当前(current)节点的位置
int l = 2*c + 1;        // 左(left)孩子的位置
int tmp = a[c];            // 当前(current)节点的大小

for (; l <= end; c=l,l=2*l+1) {
// "l"是左孩子，"l+1"是右孩子
if ( l < end && a[l] > a[l+1])
l++;        // 左右两孩子中选择较小者
if (tmp <= a[l])
break;        // 调整结束
else {            // 交换值
a[c] = a[l];
a[l]= tmp;
}
}
}

/*
* 堆排序(从大到小)
*
* 参数说明：
*     a -- 待排序的数组
*     n -- 数组的长度
*/
public static void heapSortDesc(int[] a, int n) {
int i,tmp;

// 从(n/2-1) --> 0逐次遍历每。遍历之后，得到的数组实际上是一个最小堆。
for (i = n / 2 - 1; i >= 0; i--)
minHeapDown(a, i, n-1);

// 从最后一个元素开始对序列进行调整，不断的缩小调整的范围直到第一个元素
for (i = n - 1; i > 0; i--) {
// 交换a[0]和a[i]。交换后，a[i]是a[0...i]中最小的。
tmp = a[0];
a[0] = a[i];
a[i] = tmp;
// 调整a[0...i-1]，使得a[0...i-1]仍然是一个最小堆。
// 即，保证a[i-1]是a[0...i-1]中的最小值。
minHeapDown(a, 0, i-1);
}
}

public static void main(String[] args) {
int i;
int a[] = {20,30,90,40,70,110,60,10,100,50,80};

System.out.printf("before sort:");
for (i=0; i<a.length; i++)
System.out.printf("%d ", a[i]);
System.out.printf("\n");

heapSortAsc(a, a.length);            // 升序排列
//heapSortDesc(a, a.length);        // 降序排列

System.out.printf("after  sort:");
for (i=0; i<a.length; i++)
System.out.printf("%d ", a[i]);
System.out.printf("\n");
}
}

View Code

它们的输出结果：

before sort:20 30 90 40 70 110 60 10 100 50 80
after  sort:10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110