python数据结构与算法 21 递归的实现和应用

把一个整数变成一个任意进制的字符串

假设你要把一个整数转变成一个从2到16进制的数字组成的字符串，例如，把整数10变成十进制是“10”，二进制就是“1010”。虽然很多算法能够实现，包括在栈的应用中我们讨论过一个算法，但是递归的算法仍然是最简洁的。

先来看个例子，十进制数769。我们有一个字符串，含有10个数字的字符串，类似covString=”0123456789”。那么把一个小于10的数字变成串很简单，如果是数字9，字符串就是convString[9]或“9”。如果我们769分解成3个单数，就是7，6和9，然后分别转成字符串，这样小于10的数字转起来很简单。

估计基点算法要包括三个部分

1. 把原数字转成一串的个位数

2. 把个位数查表转成单个数的字符串

3. 把各个字符串合并

下一步就要考虑怎样改变状态趋向基点。既然处理对象是整数，我们来看一下在数学上是怎么办的。最可能选项是减法和除法，减法也许能行？拿什么减什么呢？不太清楚。然而除法和余数的想法给了一个明确的方向。来看一下，如果用基数来除整数，是什么情况.

用整数10去除769，得到76余9，得到两个数。首先，余数9是小于基数（10）的个位数，能够通过查表迅速转成字符串。其次，得到的商（76）小于原来的769，并朝向基点变动.现在的工作是把76变成字符串，再次用10去除76，得到7余6，现在我们把数字变成了个位数7，小于基数10，可以很容易处理成字符串。

这一连串的操作如图3所示，注意我们要的数字是图解右边的余数。



图3：转换整数为十进制字符串

代码段是算法的实现，基数可以是2-16之间的整数。

def toStr(n,base):
convertString = "0123456789ABCDEF"
ifn<base:
returnconvertString

else:
returntoStr(n//base,base)+convertString[n%base]

print(toStr(1453,16))

注意第3行我们检查n是否小于进制的基数,，如果是，不用递归，直接从字符串上获得结果。第6行包括了第二和第三定律——自我调用和趋向基点改变状态——使用除法。

我们再跟踪一次算法，这次转化数字10为二进制。



图4整数10转为二进制字符串

图4所示为求得结果的过程，但是看起来顺序似乎不对，但是计算结果又是对的。这是因为我们的递归计算放在前面，这样直到递归结束才会去加余数。如果我们把convertString[n%base]这个式子放在前面，先查找余数的字符串再去计算递归，那么结果就完全反了顺序！但是我们先做递归，直接递归结束返回结果再去和余数相加，结果的顺序就是正确的。这应该让你想起我们在讨论栈时候计算的过程。

堆栈帧：递归的实现

假设我们要把上节递归调用中的toStr和convertString换一下位置，就要修改算法，把字符串压栈，以优先做递归调用。这个修改后的算法如下：

frompythonds.basic.stackimportStack

rStack = Stack()

deftoStr(n,base):
convertString ="0123456789ABCDEF"
whilen>0:
ifn<base:
rStack.push(convertString
)
else:
rStack.push(convertString[n%base])
n = n//base
res = ""
whilenotrStack.isEmpty():
res = res+str(rStack.pop())
returnres

print(toStr(1453,16))

每次调用toStr，我们都把一个字符压栈。回到此前的例子，我们看到经过四次调用toStr，栈内容如图5所示。注意现在我们可以简单地把字符出栈并合并成为答案：“1010”。



图5转化过程中栈内的字符

这个例子让我们得以窥到python是如何实现递归函数调用的。当调用一次函数，系统分配一个堆栈帧来存储函数的变量，当函数返回时，返回值就存在栈顶等待调用函数访问。图6所示是第4行返回语句之后的调用栈情况。



图6 toStr（10，2）产生的调用栈
注意对toStr(2//2,2)的调用，留下“1”在栈内，这个值陏后在调用toStr(1,2)时，表达式"1" + convertString[2%2]用到。然后它又留下"10"在栈顶。这样，python调用栈的过程和我们在递归求和时所有过程明显一样。在求和算法中，你可以认为栈内返回值替换了累加器变量。

堆栈帧也提示了python语言变量作用域的概念，虽然我们一遍又一遍调用函数，但每次都为函数变量开辟了独立的变量作用域。

如果牢牢记住这个栈的思想，你将会发现写递归函数变得容易多了。