详解NULLABLE、FIRSTPOS、LASTPOS和FOLLOWPOS的计算规则

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引入

　　正在上编译原理的课程，为了对抗遗忘，写下这篇文章加强自己的记忆，同时也希望能给大家带来帮助。

　　在编译原理中，要把正则表达式转化为DFA，其中有一步就是要计算语法分析树上各结点的nullable、firstpos、lastpos和followpos。如果不理解其中的原理去背计算规则，这是一件非常痛苦的事情，本文的目的就是希望能说清楚两个问题，为什么要计算，如何计算。

前置知识：

　　句子：给定文法G[Z],若有Z +=> x, 且x∈VT*；则称x是文法G[Z] 的句子 。 

　　or结点：标号为并运算符|的内部结点。

　　cat结点：标号为连接运算符·的内部结点。

　　star结点：标号为星号运算符*的内部结点。

　　位置：每个终结符对应一个位置。如图1。

 

 



 

 

 

计算NULLABLE(N)

　　说完了前置知识，我们先说一下比较容易理解的nullable(n)，为什么要计算nullable(n)呢？那是因为我们要根据结点n的nullable(n)函数的取值而采取不同的方法去计算firstpos和lastpost。说到这里可能有人要骂我了，“你这说了等于没说嘛”。希望大家稍安勿躁，因为问题是环环相扣的，我只是把解答放到后面了呵呵。

　　nullable(n)表示以n为根结点推导出的句子集合是否包括空串，当推导出的句子集合包含空串，那么nullable(n)=true；如果不包含空串，那么nullable(n)=false。现在我们针对结点n的五种情况进行分析：

　　1、当结点n是叶子结点并且取值为空，此时以n为根结点推导出的句子肯定为空，所以此时nullable(n)为true。如图2所示。

 



　　2、当结点n是叶子结点并且取值为id，此时以n推导出的句子有非空值id，所以此时nullable(n)为false。

 



　　3、当结点n是or结点，此时n结点肯定为内部结点。由于是或运算，当结点n的左子树(c1)或者右子树(c2)能推导出空串时，结点n也能推导出空串。即nullable(n)=nullable(c1) or nullable(c2)。以下三种情况都会使nullable(n)=true。(c1->ε表示c1能推导出空串ε，下同)



　　4、当结点n是cat结点，此时n结点肯定为内部结点。由于是连接运算，当结点n的左子树（c1）和右子树（c2）能同时推导出空串，则结点n能推导出空串，即nullable(n)=nullable(c1) and nullable(c2)。以下一种情况nullable(n)=true。

 



　　5、当结点n是star结点，此时n结点肯定为内部结点，由Kleene闭包运算的定义可知结点n推导出的句子集合包括空串，因此nullable(n)=true。

计算FIRSTPOS(N)

　　说完了nullable的计算规则，我们来说下firstpos(n)。为什么要算firstpos？那是因为我们在为计算followpos做准备：）不要郁闷，继续往下看，你一定会知道终极的原因！firstpos(n)函数定义了以结点n为根的子树中的位置集合。这些位置对应于以结点n为根推导出的某个句子的第一个符号（“某个”代表可能有多个，因此firstpos的计算结果是位置的集合）。我们还是按照nullable的分析方法，以五种结点类型说明firstpos(n)的计算规则。

　　1、当结点n为叶子结点并且为空串，因为是空串，所以此时没有第一个符号，即firstpos(n)={Ø}。



　　2、当结点n为位置i的叶子结点。此时结点n只能推导出位置i的终结符，因此firstpos(n)={i}



　　3、当结点n为or结点（内部结点），此时进行or运算，左子树(c1)推导出的第一个位置的集合firstpos(c1)包含于firstpos(n)，同样右子树(c1)推导出的第一个位置的集合firstpos(c2)包含于firstpos(n)。因此firstpos(n)等于左右子树firstpos的并集。即firstpos(n)=firstpos(c1) U firstpos(c2)。



　　4、当结点n为cat结点（内部结点），此时进行连接运算，若左子树不能推导出空串，那么结点n推导出的某个句子的第一个符号一定在firstpos(n)中。若左子树能推导出空串，那么第一个符号就有可能出现在右子树推导出的句子中。

　　因此：if(nullable(c1))

　　　　　　firstpos(n)=firstpos(c1) U firstpos (c2) //图9

  　　　　else

  　　　　   firstpos(n)=firstpos(c1)  //图10



　　5、当结点n为star结点（内部结点），结点n只有一个棵子树(c1)，无论结点n的能不能推导出空串，firstpos(n)=firstpos(c1)。

计算LASTPOS(N)

　　计算lastpos的规则在本质上和计算firstpos的规则相同，但是在针对cat结点的规则中，子树c1和c2的角色要对调。为了避免文章冗长，本文就不详述lastpos的计算规则了。

计算FOLLOWPOS(I)

　　看完上文，相信你已经跨越了大部分障碍了，为了乘胜追击，我们继续介绍followpos的计算规则。在说明计算方法规则，先介绍一下为什么要计算followpos() 。回到本文的第二段，我们计算的目的是要把正则表达式转化为DFA，DFA有多个状态（对应本文的位置），而在一个状态n上，followpos(n)能告诉我们在当前状态下，能到达的下一个状态的集合。由此，只要知道起始的状态集合，我们就可以通过计算followpos构造出正则表达式的DFA了（具体的构造方法参看中文紫龙P113）。

　　下面我们开始分析followpos(n)的计算规则，值得庆幸的是，这次讨论的情况只有两种。因为只有结点n为cat结点或者star结点会使得一个正则表达式的某个位置会跟在另外一个位置之后。or结点最终只会选择其中一棵子树来推导句子，所以两子树位置之间不存在依赖关系。

　　1、当n是一个cat结点，此时进行连接运算，由此，左子树c1的lastpos集合中的每个位置的后面肯定跟着右子树c2的firstpos。如下图，lastpos(c1)={1,3}那么对于每个位置i，followpos(i)=first(c2)，即follow(1)=follow(3)=first(c2)。



　　2、当n是star结点，由闭包运算的定义我们知道lastpos(n)中的位置i的followpos集合等于firstpos(n)。这就像一条饥饿的蛇，它饿晕了，以为自己的尾巴是别的食物，它一口要上去，此时，它的头部接着他的尾部，这就跟star结点讨论的情况相似。为了说清楚我们还是再举一个简单的例子吧，如图，firstpos(n)={2}，lastpos(n)={1,3}，那么1后面可能会跟着2，即follow(1)={2}。follow(3)同理。



 

总结

　　nullable(n)、firstpos(n)、lastpos(n)的计算规则总结：

　　


　　followpos(i)计算规则总结：

　　　　① 当n是一个cat结点，且其左右子树分别为c1、c2，那么对于lastpos(c1)中的所有位置i，firstpos(c2)中的所有位置都在followpos(i)中。

　　　　② 当n是一个star结点，且i是lastpos(n)中的一个位置，那么firstpos(n)中的所有位置都在followpos(i)中。

 

写在最后

　　由于时间仓促，本文肯定会有不少疏漏之处，希望得到大家的提点。