《编程珠玑》第12章 抽样问题笔记 生成m个0~n间的随机数

问题：

n个整数中随机选择m个整数（m<n）,随机数的范围为[0,n-1].

要求：每个整数最多出现一次；每个子集出现的概率相同。

假设：函数bigrand()，返回一个大的随机整数（比m,n大很多）

      函数randint(i,j)返回[i,j]间均匀的随机整数

方法一：

Knuth《计算机程序设计艺术》中3.4.2节提出的算法



 C++实现

  

方法二：

解决方法：

在一个初始为空的集合中插入随机整数，直到插入足够的整数.

伪代码：

   

代码



缺点：空间消耗增大，m=1700000,128MB内存不够用

优点：时间复杂度减小

时间复杂度

插入：O(logm)

集合内部迭代：O(m)

总时间：O(m*logm)[和n相比，m较小]

方法三

思路

1,弄乱一个n个元素数组，这个数组包含数值范围为[0,n-1]【3.4.2节Knuth的算法P作用：弄乱数组x[0...n-1]】;

2,排序前m个元素并输出

   


空间复杂度：O(n)

时间复杂度：O(n+m*logm)

《STL源码剖析》random_shuffle的实现：
      



即相当于：swap(i,rand()%(i+1)),和Knuth的算法P不同。P算法是swap(i,randint(i,n-1))

习题：

 







习题答案


















代码和概率分析：摘录自

：http://blog.csdn.net/morewindows/article/details/7659532



概率分析：

  

分析：对代码进行下讲解，以三行数据为例，首先对文本的第一行，rand()% 1，结果必然为0。所以第一行已被选中了，然后对第二行，rand()%2，结果要么为0，要么为1。故第二行有 50的可能性被选中，然后对第三行，rand()%3，显然被选中的概率为1/3。故有：
选中第一行的概率为1 * 1/2(第2行没被选中概率) * 2/3(第三行没被选中概率) = 1/3。

选中第二行的概率为1/2(第1行没被选中概率)  * 2/3 = 1/3。

选中第三行的概率为1/3。

故每一行被选中是等概率的。

补充-完整的证明过程：原链接：http://blog.csdn.net/v_july_v/article/details/6712171

   顺序遍历，当前遍历的元素为第L个元素，变量e表示之前选取了的某一个元素，此时生成一个随机数r，如果r%L == 0(当然0也可以是0~L-1中的任何一个，概率都是一样的), 我们将e的值替换为当前值，否则扫描下一个元素直到文件结束。

证明

     在遍历到第1个元素的时候，即L为1，那么r%L必然为0，所以e为第一个元素，p=100%，

    遍历到第2个元素时，L为2，r%L==0的概率为1/2, 这个时候，第1个元素不被替换的概率为1X(1-1/2)=1/2,

     第1个元素被替换，也就是第2个元素被选中的概率为1/2 = 1/2,你可以看到，只有2时，这两个元素是等概率的机会被选中的。

    继续，遍历到第3个元素的时候，r%L==0的概率为1/3，前面被选中的元素不被替换的概率为1/2 X (1-1/3)=1/3,前面被选中的元素被替换的概率，即第3个元素被选中的概率为1/3

    归纳法证明，这样走到第L个元素时，这L个元素中任一被选中的概率都是1/L，那么走到L+1时，第L+1个元素选中的概率为1/(L+1), 之前选中的元素不被替换，即继续被选中的概率为1/L X ( 1-1/(L+1) ) = 1/(L+1)。证毕。

    也就是说，走到文件最后，每一个元素最终被选出的概率为1/n， n为文件中元素的总数。