Kosaraju算法的分析和证明 转自http://blog.sina.com.cn/s/blog_4dff87120100r58c.html

Kosaraju算法是求解有向图强连通分量（strong connected component）的三个著名算法之一，能在线性时间求解出一个图的强分量。用Sedgewick爷爷的话说，就是“现代算法设计的胜利”。

什么是强连通分量？在这之前先定义一个强连通性（strong connectivity）的概念：有向图中，如果一个顶点s到t有一条路径，t到s也有一条路径，即s与t互相可达，那么我们说s与t是强连通的。那么在有向图中，由互相强连通的顶点构成的分量，称作强连通分量。

首先说一些离散数学相关的结论，由强连通性的概念可以发现，这是一个等价关系。

证明：

一，按照有向图的约定，每个顶点都有到达自身的路径，即自环，即任意顶点s到s可达，满足自反性；

二，如果s与t是强连通的，则s到t存在路径，t到s存在路径，显然t与s也是强连通的，满足对称性；

三，如果r与s强连通，s与t强连通，则r与s互相可达，s与t互相可达，显然r与t也互相可达，满足传递性。

因此，强连通关系可导出一个等价类，这就是强连通分量。进一步的利用这结论可以知道，两个强连通分量之间木有交集（这个结论很重要）。事实上，图论与离散数学中的关系有非常密切的……关系。

在编程求解强连通分量时，通常做法是对顶点进行编号，拥有相同编号的顶点属于同一个强连通分量。在求解完之后，通过对编号的比较可以迅速判断两个顶点是否是强连通的。

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Kosaraju算法过程上并不复杂。要求解一个有向图的强连通分量，第一步：在该图的逆图上运行DFS，将顶点按照后序编号的顺序放入一个数组中（显然，这个过程作用在DAG上得到的就是一个拓扑排序）；第二步：在原图上，按第一步得出的后序编号的逆序进行DFS。也就是说，在第二次DFS时，每次都挑选当前未访问的结点中具有最大后序编号的顶点作为DFS树的树根。

Kosaraju算法的显著特征是，第一，引用了有向图的逆图；第二，需要对图进行两次DFS（一次在逆图上，一次在原图上）。而且这个算法依赖于一个事实：一个有向图的强连通分量与其逆图是一样的（即假如顶点任意顶点s与t属于原图中的一个强连通分量，那么在逆图中这两个顶点必定也属于同一个强连通分量，这个事实由强连通性的定义可证）。由于算法的时间取决于两次DFS，因此时间复杂度，对于稀疏图是O(V+E)，对于稠密图是O(V²)，可见这是一个线性算法。Kosaraju的结论是，在第二次DFS中，同一棵搜索树上的结点属于一个强连通分量。

证明：假设顶点s与t属于第二次DFS森林（注意，第二次是在原图上搜索）的同一棵树，r是这棵树的根结点。那么有以下两个事实：一，原图中由r可达s，这蕴含在逆图中从s到r有一条路径；二，r在逆图中的后序编号大于s（r是树根，因此r的后序编号比树中所有的其他结点的都大）。现在要证明的是在逆图中从r到s也是可达的。

好，两个事实结合起来：一，假设逆图中r到s不可达，且s到r存在路径，那么这条路径将使s的后序编号比r大，与事实一矛盾，排除；二，假设逆图中r到s存在路径，正是这条r到s的路径使得r有更大的后序编号，则r与s是强连通的，假设成立（看上去比较勉强，个人认为这应该是一个空证明）。显然，两个事实导出一个结论：逆图中，r与s互相可达。同理，r与t也互相可达，根据传递性，第二次DFS森林中同一棵树中的所有顶点构成一个强连通分量。

另一方面，会不会一个强连通分量的所有顶点没有出现在第二次DFS森林的同一颗树中呢？答案是：不会。因为根据DFS的性质，如果r与s强连通，那么由r开始的DFS必定能搜到s。

证毕。

可见Kosaraju的方法能够找出有向图的强连通分量，那么为什么这个方法可行呢？或者如何实现呢？这正是Kosaraju算法最为精妙的地方，关键在于第二次DFS选取的顺序：在第一次DFS中，将顶点按照后序编号存放，第二次DFS就按照这个顺序的逆序进行搜索，这保证每次选取的根结点（刚才证明中的r结点）都具有未访问结点中最大的后序编号，则搜索中拓展的结点的后序编号都比根结点小，这样也就满足了事实二。

补充：Kosaraju算法虽然是线性的，但是需要两次DFS，跟另外两个著名的求解强分量的算法相比，这是一个劣势。但是Kosaraju算法有个神奇之处在于：计算之后的强分量编号的顺序，刚好是该有向图K(D)（kernel DAG， 核心DAG）的一个拓扑排序！因此Kosaraju算法同时提供了一个计算有向图K(D)拓扑排序的线性算法。这个结果在一些应用中非常重要。

最后附上我的实现~就一目了然啦~

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// Kosaraju算法邻接矩阵实现

static int cnt, cntR, pre[MAXV], postR[MAXV];

int Kosaraju(Graph G) {

int v;

// 初始化全局变量

cnt = cntR = 0;

for (v = 0; v < G->V; ++v)

pre[v] = postR[v] = -1;

// 第一次DFS，计算逆图的后序编号

for (v = 0; v < G->V; ++v)

if (pre[v] == -1)

dfsPostR(G, v);

cnt = 0;

for (v = 0; v < G->V; ++v)

G->sc[v] = -1; // G->sv[v]表示顶点v的强连通分量编号

// 第二次DFS，强连通分量编号

for (v = G->V - 1; v >= 0; --v) {

// 注意搜索的顶点顺序是逆图后序编号的逆序

if (G->sc[postR[v]] == -1) {

dfsSC(G, postR[v]);

++cnt; // 对一棵树编号之后计数器值加1

}

}

return cnt; // 返回强连通分量的个数

}

void dfsPostR(Graph G, int v) {

// 对逆图后序编号

int t;

pre[v] = cnt++;

for (t = 0; t < G->V; ++t)

if (G->adj[t][v] == 1) // 注意!!!邻接矩阵引用逆图,因此是G->adj[t][v]

if (pre[t] == -1)

dfsPostR(G, t);

postR[cntR++] = v; // 后序编号,注意是计数器做数组下标

}

void dfsSC(Graph G, int v) {

int t;

G->sc[v] = cnt; // 计数器作为编号

for (t = 0; t < G->V; ++t)

if (G->adj[v][t] == 1)

if (G->sc[t] == -1)

dfsSC(G, t);

}

int GraphSC(Graph G, int s, int t) {

// 比较顶点的强连通分量编号即可判断是否强连通

return G->sc[s] == G->sc[t];

}