计算圆周率 Pi (π)值, 精确到小数点后 10000 位 只需要 30 多句代码！

原文地址http://www.cppfans.com/articles/basecalc/c_pi_10000.asp by: Victor Chen

大家都知道π=3.1415926……无穷多位, 历史上很多人都在计算这个数, 一直认为是一个非常复杂的问题。现在有了电脑, 这个问题就简单了。

电脑可以利用级数计算出很多高精度的值, 有关级数的问题请参考《高等数学》,以下是比较有名的有关π的级数:



其中有些计算起来很复杂, 我们可以选用第三个, 比较简单, 并且收敛的非常快。

因为计算π值, 而这个公式是计算π/2的, 我们把它变形:

π = 2 + 2/3 + 2/3*2/5 + 2/3*2/5*3/7 + ...

对于级数, 我们先做个简单测试, 暂时不要求精度:

用 C++ Builder 新建一个工程, 在 Form 上放一个 Memo1 和 一个 Button1, 在 Button1 的 OnClick 事件写:

void __fastcall TForm1::Button1Click(TObject *Sender)
{
double x=2, z=2;
int a=1, b=3;
while(z>1e-15)
{
z = z*a/b;
x += z;
a++;
b+=2;
}
Memo1->Text = AnsiString().sprintf("Pi=%.13f", x);
}

按Button1在Memo1显示出执行结果:
Pi=3.1415926535898

这个程序太简单了, 而且 double 的精度很低, 只能计算到小数点后 10 几位。

把上面的程序改造一下, 让它精确到小数点后面 1000 位再测试一下:

在 Form 上再放一个按钮 Button2, 在这个按钮的 OnClick 事件写:

void __fastcall TForm1::Button2Click(TObject *Sender)
{
const ARRSIZE=1010, DISPCNT=1000; //定义数组大小，显示位数
char x[ARRSIZE], z[ARRSIZE]; //x[0] x[1] . x[2] x[3] x[4] .... x[ARRSIZE-1]
int a=1, b=3, c, d, Run=1, Cnt=0;

memset(x,0,ARRSIZE);
memset(z,0,ARRSIZE);

x[1] = 2;
z[1] = 2;

while(Run && (++Cnt<200000000))
{
//z*=a;
d = 0;
for(int i=ARRSIZE-1; i>0; i--)
{
c = z[i]*a + d;
z[i] = c % 10;
d = c / 10;
}
//z/=b;
d = 0;
for(int i=0; i<ARRSIZE; i++)
{
c = z[i]+d*10;
z[i] = c / b;
d = c % b;
}
//x+=z;
Run = 0;
for(int i=ARRSIZE-1; i>0; i--)
{
c = x[i] + z[i];
x[i] = c%10;
x[i-1] += c/10;
Run |= z[i];
}
a++;
b+=2;
}
Memo1->Text = AnsiString().sprintf("计算了 %d 次\r\n",Cnt);
Memo1->Text = Memo1->Text + AnsiString().sprintf("Pi=%d%d.\r\n", x[0],x[1]);
for(int i=0; i<DISPCNT; i++)
{
if(i && ((i%100)==0))
Memo1->Text = Memo1->Text + "\r\n";
Memo1->Text = Memo1->Text + (int)x[i+2];
}
}

按 Button2 执行结果:

Pi=03.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679821480865132823066470938446095505822317253594081284811174502841027019385211055596446229489549303819644288109756659334461284756482337867831652712019091456485669234603486104543266482133936072602491412737245870066063155881748815209209628292540917153643678925903600113305305488204665213841469519415116094330572703657595919530921861173819326117931051185480744623799627495673518857527248912279381830119491298336733624406566430860213949463952247371907021798609437027705392171762931767523846748184676694051320005681271452635608277857713427577896091736371787214684409012249534301465495853710507922796892589235420199561121290219608640344181598136297747713099605187072113499999983729780499510597317328160963185950244594553469083026425223082533446850352619311881710100031378387528865875332083814206171776691473035982534904287554687311595628638823537875937519577818577805321712268066130019278766111959092164201989

这下心理有底了, 是不是改变数组大小就可以计算更多位数呢？答案是肯定的。

如果把定义数组大小和显示位数改为:

const ARRSIZE=10100, DISPCNT=10000; //定义数组大小，显示位数

执行结果精度可达 10000 位:

Pi=03.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640628620899862803482534211706798214808651328230664709384460955058223172535940812848111745028410270193852110555964462294895493038196442881097566593344612847564823378678316527120190914564856692346034861045432664821339360726024914127372458700660631558817488152092096282925409171536436789259036001133053054882046652138414695194151160943305727036575959195309218611738193261179310511854807446237996274956735188575272489122793818301194912983367336244065664308602139494639522473719070217986094370277053921717629317675238467481846766940513200056812714526356082778577134275778960917363717872146844090122495343014654958537105079227968925892354201995611212902196086403441815981362977477130996051870721134999999837297804995105973173281609631859502445945534690830264252230825334468503526193118817101000313783875288658753320838142061717766914730359825349042875546873115956286388235378759375195778185778053217122680661300192787661119590921642019893809525720106548586327886593615338182796823030195203530185296899577362259941389124972177528347913151

... 限于篇幅, 这里就省略了, 还是留给你自己来算吧！

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提高精度的原理:

以上程序的原理是利用数组把计算结果保存起来, 其中数组每一项保存10进制数的一位,

小数点定位在数组第1个数和第二个数之间, 即小数点前面2位整数, 其余都是小数位。

利用电脑模拟四则运算的笔算方法来实现高精度的数据计算,没想到最原始的方法竟然是精度最高的。