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关于完美洗牌问题的若干思考

2013-08-29 18:10 288 查看
前面学习了完美洗牌问题

完美洗牌算法学习

又写了一个证明

完美洗牌问题的证明

进一步思考了其他的一些问题:

完美洗牌问题: 给定的输入a1, a2, a3, ……aN, b1,b2,……bN,输出b1,a1,b2,a2,b3,a3…… bN,aN

(1) 如果要求输出是a1,b1,a2,b2……aN,bN怎么办?

这个问题在学习的时候已经考虑过,只是觉得如果先把a部分和b部分交换掉,或者最后再交换相邻的一组两个位置的方法不够美观。

现在想想可以这样,原数组第一个和最后一个不变,中间的2 * (n - 1)项用原始的标准完美洗牌算法做就可以了。

(2) 完美洗牌问题的逆问题:

给定b1,a1,b2,a2,……bN,aN, 输出a1,a2,a3,……aN,b1,b2,b3,……bN

这相当于把偶数位上的数放到一起,奇数位上的数放到一起。

关键问题: 我们需要把cycle_leader算法改一下,沿着圈换回去。改造后的叫reverse_cycle_leader,代码如下:

//逆变换,数组下标从1开始,from是圈的头部,mod是要取模的数 mod 应该为 2 * n + 1,时间复杂度O(圈长)
void reverse_cycle_leader(int *a,int from, int mod) {
    int last = a[from],next, i;
    
    for (i = from;;i = next) {
        next = i * 2 % mod;
        if (next == from) {
            a[i] = last;
            break;
        }
        a[i] = a[next];
        
    }
}


按照完美洗牌算法,我们同样把数分为m和(n - m)两部分。

假设我们把前面若干项已经置换成先a后b的形式了,现在把这m项也置换成先a后b的形式,我们需要把这m项中的a部分换到前面去,这里需要一个循环右移,还要知道以前处理了多长。总之,这个逆shuffle算法需要小心实现一下,代码如下:

//逆shuffle 时间O(n),空间O(1)
void reverse_perfect_shuffle3(int *a,int n) {
int n2, m, i, k, t, done = 0;
    for (;n > 1;) {
        // step 1
        n2 = n * 2;
        for (k = 0, m = 1; n2 / m >= 3; ++k, m *= 3)
            ;
        m /= 2;
        // 2m = 3^k - 1 , 3^k <= 2n < 3^(k + 1)
        
        for (i = 0, t = 1; i < k; ++i, t *= 3) {
            reverse_cycle_leader(a , t, m * 2 + 1);
        }
        
        if (done) {
            right_rotate(a - done, m, done + m); //移位
        }
        a += m * 2;
        n -= m;
        done += m;
        
        
    }
    // n = 1
    right_rotate(a - done, 1, done + 2);
}


总体算法(含变换和逆变换、还有测试代码)如下,注意所有的下标均从1开始:

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <string>
using namespace std;

//数组下标从1开始,from是圈的头部,mod是要取模的数 mod 应该为 2 * n + 1,时间复杂度O(圈长)
void cycle_leader(int *a,int from, int mod) {
int last = a[from],t,i;

for (i = from * 2 % mod;i != from; i = i * 2 % mod) {
t = a[i];
a[i] = last;
last = t;

}
a[from] = last;
}

//翻转字符串时间复杂度O(to - from)
void reverse(int *a,int from,int to) {
int t;
for (; from < to; ++from, --to) {
t = a[from];
a[from] = a[to];
a[to] = t;
}

}

//循环右移num位 时间复杂度O(n)
void right_rotate(int *a,int num,int n) {
reverse(a, 1, n - num);
reverse(a, n - num + 1,n);
reverse(a, 1, n);
}

//时间O(n),空间O(1)
void perfect_shuffle3(int *a,int n) {
int n2, m, i, k,t;
for (;n > 1;) {
// step 1
n2 = n * 2;
for (k = 0, m = 1; n2 / m >= 3; ++k, m *= 3)
;
m /= 2;
// 2m = 3^k - 1 , 3^k <= 2n < 3^(k + 1)

// step 2
right_rotate(a + m, m, n);

// step 3

for (i = 0, t = 1; i < k; ++i, t *= 3) {
cycle_leader(a , t, m * 2 + 1);

}

//step 4
a += m * 2;
n -= m;

}
// n = 1
t = a[1];
a[1] = a[2];
a[2] = t;

}

//逆变换,数组下标从1开始,from是圈的头部,mod是要取模的数 mod 应该为 2 * n + 1,时间复杂度O(圈长) void reverse_cycle_leader(int *a,int from, int mod) { int last = a[from],next, i; for (i = from;;i = next) { next = i * 2 % mod; if (next == from) { a[i] = last; break; } a[i] = a[next]; } }
//逆shuffle 时间O(n),空间O(1)
void reverse_perfect_shuffle3(int *a,int n) {
int n2, m, i, k, t, done = 0;
for (;n > 1;) {
// step 1
n2 = n * 2;
for (k = 0, m = 1; n2 / m >= 3; ++k, m *= 3)
;
m /= 2;
// 2m = 3^k - 1 , 3^k <= 2n < 3^(k + 1)

for (i = 0, t = 1; i < k; ++i, t *= 3) {
reverse_cycle_leader(a , t, m * 2 + 1);
}

if (done) {
right_rotate(a - done, m, done + m); //移位
}
a += m * 2;
n -= m;
done += m;


}
// n = 1
right_rotate(a - done, 1, done + 2);


}

//测试代码
int main() {
const int N = 100000;

int a[N * 2 + 1],i;
for (i = 1; i <= 2 * N; ++i) {
a[i] = i;
}
perfect_shuffle3(a, N);
reverse_perfect_shuffle3(a, N);
for (i = 1; i <= 2 * N; ++i) {
printf("%d\n", a[i]);
}
for (i = 1; i <= 2 * N; ++i) {
if (a[i] != i) {
puts("NO");
return 0;
}
}
puts("YES");
return 0;
}


(3) 如果输入是a1,a2,……aN, b1,b2,……bN, c1,c2,……cN,要求输出是c1,b1,a1,c2,b2,a2,……cN,bN,aN怎么办?

这个问题也不是我凭空想像出来的,这是在careercup上看到过的面试题。

我研究了下这个问题,对于任意位置i = 1..3 * N 我们发现

原始1 <= i <= N 时,即a部分, 转移到的位置是 3 * i

原始N < i <= 2 * N 时 即b部分,转移到的位置是 3 * i - (3 * N + 1)

原始2 * N < i <= 3 * N时,即c部分转移到的位置是 3 * i - 2 * (3 * N + 1)

于是我们得到映射位置 i' = i mod (3 * N + 1)

之所以要把a,b,c的顺序反过来,因为有如上这么好的形式。

剩下的问题和学习完美洗牌算法差不多,我们试图对一个特定的长度解决掉。

仿照完美洗牌算法的思路,我验证了3是7的原根,是49的原根,于是3是7^k的原根。于是,我们可以把原来的圈按照截取出一个m,满足3 * m = 7 ^ k - 1,截取出一个m长度后,我们同样需要循环移位,使得(a1..am)(b1..bm)(c1..cm)在一起,这里要循移位两次。算法的步骤如下:

step 1 找到 3 * m = 7^k - 1 使得 7^k <= 3 * n < 7^(k +1)

step 2 把a[m + 1..n + m]那部分循环移m位,再把a[m * 2 + 1..2 * n + m]那部分循环右移m位,这样把数组分成了m和(n - m)两部分。

step 3 对每个i = 0,1,2..k - 1,7^i是个圈的头部,做cycle_leader算法,数组长度为m,所以对3 * m + 1取模。

step 4 对数组的后面部分a[3 * m + 1.. 3 * n]继续使用本算法,这相当于n减小了m。

代码:

//翻转字符串时间复杂度O(to - from)
void reverse(int *a,int from,int to) {
    int t;
    for (; from < to; ++from, --to) {
        t = a[from];
        a[from] = a[to];
        a[to] = t;
    }
    
}

//循环右移num位 时间复杂度O(n)
void right_rotate(int *a,int num,int n) {
    reverse(a, 1, n - num);
    reverse(a, n - num + 1,n);
    reverse(a, 1, n);
}

//数组下标从1开始,from是圈的头部,mod是要取模的数 mod 应该为 3 * n + 1,时间复杂度O(圈长)
void cycle_leader(int *a,int from, int mod) {
    int last = a[from],t,i;
    
    for (i = from * 3 % mod;i != from; i = i * 3 % mod) {
        t = a[i];
        a[i] = last;
        last = t;
        
    }
    a[from] = last;
}

//时间O(n),空间O(1)
void perfect_shuffle3n(int *a,int n) {
    int n3, m, i, k,t;
    for (;n > 2;) {
        // step 1
        n3 = n * 3;
        for (k = 0, m = 1; n3 / m >= 7; ++k, m *= 7)
            ;
        m /= 3;
        // 3m = 7^k - 1 , 7^k <= 3n < 7^(k + 1)
        
        // step 2
        right_rotate(a + m, m, n);
        right_rotate(a + m * 2, m , n * 2 - m);
        
        // step 3
        
        for (i = 0, t = 1; i < k; ++i, t *= 7) {
            cycle_leader(a , t, m * 3 + 1);
            
        }
        
        //step 4
        a += m * 3;
        n -= m;
        //printf("n = %d  m = %d\n",n, m);
        //getchar();
        
    }
    if (n == 2) {
        cycle_leader(a, 1, 7);
    }
    else if (n == 1) {
        t = a[1];
        a[1] = a[3];
        a[3] = t;
    }
    
}
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