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阶乘与斐波那契数的理解

2013-07-15 21:21 197 查看
在算法导论第三章中,提到了阶乘和斐波那契数,颠覆或者说是加深了我以前对这两种数的理解。以前是无法想象这个数有多大,但现在是有了一个概念。

阶乘

阶乘的定义为

n!= n>0?1:n*(n-1)!

根据斯特林公式Stirling有:

n!=sqrt(2pi*n)*(n/e)^n*(1+THETA(1/n))


由这个公式,数学中关于阶乘与其他函数大小的比较就了然了。

另一个关系式也有所帮助:

n!=sqrt(2pi*n)*(n/e)^n*e^(an)
1/(12n+1)<an<1/(12n)


斐波那契数

其定义为

F0=0
F1=1
F(i)=F(i-2)+F(i-1),i>=2


序列为:

0,1,1,2,3,5,8,13,21…………


斐波那契数和黄金分割比例fai与^fai有密不可分的关系。

黄金分割比例为下面方程的两个解:

x^2=x+1


解为:

fai=(1+sqrt(5))/2=1.61803
^fai=(1-sqrt(5))/2=0.61803


这样就有:

Fi=(fai^i-^fai^i)/sqrt(5)


可以归纳法证明。

又由于:

abs(^fai^i)/sqrt(5)<1/sqrt(5)<1/2
===>
Fi=floor((fai^i)/sqrt(5)+1/2)


这样,斐波那契数就是指数增长的。
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