《编程之美》3.6判断链表是否相交之扩展：链表找环方法证明

　　先看看原题：《编程之美》3.6编程判断两个链表是否相交，原题假设两个链表不带环。

　　为了防止剧透使得没看过原题目的读者丧失思考的乐趣，我把最好的解法隐藏起来。由于这个问题本身的解答并不是本文的重点，扩展问题也采用这种形式呈现。

注：位于(*)符号之间的文字出自于：/article/1361450.html，作者v_JULY_v。

(*)设置两个指针p1,p2，首先p1和p2都指向head，然后p2向前走k步，这样p1和p2之间就间隔k个节点，最后p1和p2同时向前移动，直至p2走到链表末尾。(*)

相关问题解法

　　现在来看，遗留问题是：1.如何判断链表有环？2.如何找到链表环的入口？方法是有的，而且这个算法在3.11节程序改错的扩展问题有所提示。简单来说就是：

　　对于问题1，指针p1、p2指向表头，每次循环p1指向后继，p2指向后继的后继；循环的结束条件是，p2后继为空（无环）或p1==p2（有环）。

　　这个方法网上没有看到比较令我满意的解释，而《编程原本》（Elements of Programming）在第2章“变换及其轨道”中虽然有简单的说明，可当时看的时候也不是特别理解（就算现在理解了，这本书上讲得比较抽象，上面的说明放在这里只能让读者越看越糊涂），可能是悟性不够吧。一是不满足于用举例说明，二是觉得，如果是连续地移动，即像物体运动时位移和时间是连续的而不是这样离散的，当然会相遇；而二者都是离散的，如果每次都发生p2刚好越过p1的情况呢？下面用易于理解的方式证明，这个解法中如果有环，p1和p2必同时在停留在某个节点。



　　如左图，在任意时刻，p1和p2都在环上。由于p1每次向前1步，p2每次向前两步，用相对运动的观点来看，把p1看作静止，那么p2每次相对p1向前1步，二者在顺时针方向上的距离每经过一个时刻就减少1，直到变为0，也即二者恰好相遇。这样就证明了在离散情况下，对于有环链表，二者也是必然在某一时刻相遇在某个节点上的。

　　沿着这个思路，继续求解问题2寻找环的入口问题。记环的总长度为R（即，环上有R个节点），并将上述的初始时刻选为p1第一次到达环入口的时刻，相遇时p1在环上位置x%R，p2在环位置[2*(L+x)-L]%R，



　　在相遇点，有(2L+2x-L)%R == x%R，即(L+2x)%R==x%R。根据同余的性质，（L+x）%R==0。

　　此时把p1放回表头，p2的速度降为1。当p1走了L到达环的入口时，p2在环上的位置为(x+L)%R==0，这意味着p2回到了入口，且与p1相遇。并且由于之前p1不在环上，这是二者的在这一步操作后的第一次相遇，并且都在入口，这便找出了入口的位置。

　　重述一遍寻找环存在和环入口的方法：