平衡二叉树（AVL树）

平衡二叉树的相关概念概念：

       平衡二叉树是一种二叉排序树，它具有如下性质：

           1、每一个结点的左子树和右子树的深度最多相差1；

           2、每一个结点的左子树和右子树也都是平衡二叉树

       平衡因子（BF，balance factor）：

           结点的平衡因子是该结点的左子树的深度与右子树的深度之差，有-1，0，1三种值。



       最小不平衡子树

           距离插入结点最近，且平衡因子的绝对值大于1的结点为根的子树，我们称为最小不平衡子树。

平衡二叉树构建的基本思想：

        在构建二叉排序树的过程中，每当插入一个结点时，首先检查是否因插入而破坏了树的平衡性。若是，则找出最小不平衡子树。在保持二叉排序树特性的前提下，调整最小不平衡子树中各结点之间的链接关系，进行相应的旋转，使之成为新的平衡子树。

对平衡树进行调整归纳的4种情况：

（1）LL型

        在A的左孩子的左子树上插入结点F，使A的平衡因子由1变为2，则进行一次顺时针旋转调整。由于结点A和D发生冲突，将D变为A的左子树，如图：



（2）RR型

       和LL型刚刚相反，如图：



（3）LR型

       在A的左孩子的右子树上插入结点F，使A的平衡因子由1变为2，则先进行一次逆时针旋转，再进行一次顺时针旋转。即先使之成为LL型，再按照LL型处理。如图：



（4）RL型

       和LR型刚刚相反，如图：

算法代码：

处理左平衡代码

#define LH 1
#define EH 0
#define RH -1

typedef struct BiNode
{
int data;
int bf;
struct BiNode *lchild,*rchild;
}BiNode;

void LL(BiNode * p)
{
BiNode * L;
L = p->lchild;
p->lchild = L->rchild;
L->rchild = p;
p = L;
}

void RR(BiNode * p)
{
BiNode * R;
R = p->rchild;
p->rchild = R->lchild;
R->lchild = p;
p = R;
}

void LeftBalance(BiNode * p)//处理左边平衡情况
{
BiNode * L,* Lr;
L = p->lchild;
switch(L->bf)
{
case LH://新结点插入在p的左孩子的左子树上，要作顺时针旋转，即LL处理
p->bf = L->bf = EH;
LL(p);
break;
case RH://新结点插入在p的左孩子的右子树上，作LR处理
Lr = L->rchild;
switch(Lr->bf)//修改p及其左孩子的bf
{
case LH:
p->bf = RH;
L->bf = EH;
break;
case EH:
p->bf = L->bf = EH;
break;
case RH:
p->bf = EH;
L->bf = LH;
break;
}
Lr->bf = EH;
RR(p->lchild);//逆时针处理
LL(p);//顺时针处理
}
}

右平衡与左平衡处理情况相反，代码稍加修改就OK了，这里就不给出了，可以参考以上代码。

再看看平衡二叉树整个处理过程（代码）：

//在平衡二叉树T中若不存在和e相同的结点，则插入一个数据元素为e的新结点并返回1，否则返回0。若
//因二叉排序树失去平衡，则作旋转处理，taller反映T长高与否
int InsertAVL(BiNode * T,int e,bool * taller)
{
if (!T)
{
T = (BiNode *)malloc(sizeof(BiNode));
T->data = e;
T->lchild = T->rchild = NULL;
T->bf = EH;
* taller = TRUE;
}
else
{
if (e == T->data)//若存在相同元素
{
*taller = FALSE;
return FALSE;
}
if (e < T->data)//在T的左子树搜索
{
if (!InsertAVL(T->lchild,e,taller))//递归处理
return FALSE;
if (*taller)//已插入到T的左子树中且左子树“长高”
{
switch(T->bf)//检查T的平衡度
{
case LH://原本左子树比右子树高，需作左平衡处理
LeftBalance(T);
*taller = FALSE;
break;
case EH://原本左右子树等高，现因左子树增高而树增高
T->bf = LH;
*taller = TRUE;
break;
case RH://原本右子树比左子树高，现左右子树等高
T->bf = EH;
*taller = FALSE;
break;
}
}
}
else//在T的右子树搜索
{
if (!InsertAVL(T->rchild,e,taller))
return FALSE;
if (*taller)
{
switch(T->bf)
{
case LH:
T->bf = EH;
*taller = FALSE;
break;
case EH:
T->bf = RH;
*taller = TRUE;
break;
case RH:
RightBalance(T);
*taller = FALSE;
break;
}
}
}
}
return TRUE;
}