[LeetCode 124] - 二叉树最大路径和(Binary Tree Maximum Path Sum)

问题

给出一个二叉树，找到其中的最大路径和。

路径可以从树中任意一个节点开始和结束。

例如：

给出如下二叉树，

1

/ \

2 3

返回6。

初始思路

为了简化分析，我们先假设二叉树中所有节点的值都是正数。通过观察可以发现，一棵二叉树的最大路径，就是其左子树的最大路径加上右子树的最大路径。看起来可以从根节点出发通过深度优先递归来求解：

函数 查找路径

如果是叶子节点，返回叶子节点的值

如果不是叶子节点

左子树路径和 ＝ 查找路径（左子树）

右子树路径和 ＝ 查找路径（右子树）

如果[b]左子树路径＋右子树路径和＋当前节点值 > 当前最大路径，更新最大路径[/b]

返回[b][b]左子树路径＋右子树路径和＋当前节点值[/b][/b]

用题目中的简单例子来验证，是可以得出答案的。但是使用复杂一点的树来验证后就发现其中的问题了，如

1

/ \

2 3

/ \

4 5

使用前面的伪代码得出的结果是15，但是其实答案应该是11，由3，1，2，5或者2，4，5得到。分析可以发现问题在于计算2，4，5这棵子树时，它的最长路径为11，这是正确的。但是当它作为左子树向父节点返回最长路径时，因该返回7而不是11。因为从1出发不走重复路径不可能同时到达4或5的－通常二叉树节点路径的定义是每个节点只能访问一次，通过测试数据也可以验证题目就是这样要求的。因此我们需要两个最大值，一个是当前树的最大路径，即前面伪代码算出来的那个值；另一个是当前树向父节点提供的最大路径，这个值应该是根节点的值加上路径最长的子树那边的最大路径。我们向上层递归函数返回这个值。

好了，现在全是正数的情况解决了。让我们开始把负数引入。负数引入后，将会导致以下几个变化：

叶子节点的值也有可能成为最大路径。在全是正数的情形下，叶子节点的值肯定不可能会是最大路径，因为加上父节点的值后必然会变大。有了负数以后，这个情况就不成立了，如：

－1

/

3

这时最大路径就是3。

当前树最大路径的计算方法。有了负数以后不能简单的把左子树返回的值，右子树返回的值及当前的值相加了。这里我们把各种情况列举出来：

当前值为正，子树返回值都为正：全相加

当前值为正，子树返回值有一个为正：当前值＋正的那个值，因为负值只会让结果变小。

当前值为正，子树返回值都是负：只取当前值，负值越加越小。

当前值为负，子树返回的值都为正：全相加，虽然值会变小，但是没有当前节点左右就不能联通。

当前值为负，子树返回值有一个为正：当前值＋正的那个值。

当前值为负，子树返回值都为负：当前值，负值越加越小。

向父节点提供的最大路径的计算方法。和当前树最大路径计算方法基本一样。就是仍然要左子树右子树的值只能取大的那个。

将上面分析转换成代码，并加入一些细节如没有左（右）子树的判断。请注意由于节点的取值范围并没有限定，所以不能使用某个特殊值作为没有左（右）子树的标志。结果如下：

class Solution {
public:
int maxPathSum(TreeNode *root)
{
if(!root)
{
return 0;
}

maxSum_ = 0;
firstValue_ = true;

CountPathSum(root);

return maxSum_;
}

private:
int CountPathSum(TreeNode* root)
{
if(root->left == 0 && root->right == 0)
{
if(firstValue_ || root->val > maxSum_)
{
maxSum_ = root->val;
firstValue_ = false;
}
return root->val;
}
else
{
int left = 0;
int right = 0;
if(root->left)
{
left = CountPathSum(root->left);
}

if(root->right)
{
right = CountPathSum(root->right);
}

int currentBest = 0;
int sumInPah = 0;

if(left > 0 && right > 0)
{
currentBest = left + right;

sumInPah = left > right ? left : right;
}
else if(left > 0)
{
currentBest = left;
sumInPah = left;
}
else if(right > 0)
{
currentBest = right;
sumInPah = right;
}
else
{
if(!root->left)
{
currentBest = right;
}
else if(!root->right)
{
currentBest = left;
}
else
{
currentBest = left > right ? left : right;

}
sumInPah = currentBest;
}

//前面已做只取正值的处理，如果还小于零说明两个都是负数
if(sumInPah < 0)
{
sumInPah = root->val;
}
else
{
sumInPah += root->val;
}

if(currentBest < 0)
{
currentBest = root->val;
}
else
{
currentBest += root->val;
}

if(currentBest > maxSum_)
{
maxSum_ = currentBest;
}

return sumInPah;
}
}

int maxSum_;
bool firstValue_;
};

maxPathSum
提交后Judge Small和Judge Large都顺利通过。