数学与计算机

数学与计算机
摘要：20世纪中叶高速电子计算机的出现对现代数学的发展带来了深刻影响，这是20世纪数学区别于以往任何时代的一大特点。关键词：数学　　计算机

一、数学与计算机的发展用计算机代替人工计算，是人类的长期追求。在这种追求中，数学家始终扮演着重要的并且常常是主要的角色。第一台能做加减运算的机械式计算机是帕斯卡发明的。莱布尼茨（G.Leibniz）耶敏锐地预见到了计算机的重要性，他指出：“把计算交给及其去做，可以使优秀人才从繁重的计算中解脱出来”。莱布尼茨从1671年开始着手设计、制造他所谓的“算术计算机”，并于1674年马略特（E.Mariotte）帮助下制成了一台能进行加减乘除四则运算的计算机。使普通的四则运算机增带程序控制的功能，这是向现代计算机过渡的关键一步，这一步是由英国数学家巴贝奇（C.Babbage）首先迈出的。巴贝奇很早就热衷于计算机的制造，1822年制成一种叫“差分机”（difference engine）的可运转的专用计算机，大约在1834年，又完成了他称之为“分析机”（analysis engine）的新设计。由于时代的限制，巴贝奇分析机的纯机械地设计方案在技术实施上遇到了巨大的障碍。巴贝奇通用程序控制数字计算机的天才设想，过了差不多100年才得以实现。进入20世纪以来，科学技术的迅猛发展，带来了堆积如山的数据处理问题，尤其是第二次世界大战军事上的需要，更使计算工具的改进成为燃眉之急。第一台通用程序控制电子计算机ENIAC（Electronic Numerical Integrator and Computer）的诞生，在ENIAC的研制者中起关键作用的人物就是阿伯丁实验室的戈德斯坦（H.Goldstine）中尉，原是一位数学家，他与莫尔学院工程师莫克莱（J.W.Mauchly）等一起于1942年提出了一份题为《高速电子管计算装置的使用》的报告，实际上即ENIAC的初步设计方案。ENIAC是第一台能真正运转的电子计算机，但其基本结构与机电式计算机并无二致。这是一台庞然大物，占地面积达170平方米，耗电150千瓦，采用了18 000只电子管，工作时常因电子管烧坏而停机检测。而它最大的弱点，还在于其程序是“外插型”而非“存储型”。为了进行几分钟的运算，准备程序往往要花几个小时，这使ENIAC由于采用电子管而获得的速度被大大抵消。如果这个缺陷不能克服，那么刚刚诞生的电子计算机就有可能夭折。恰恰在这个可以说关系到电子计算机存亡的问题上，又是数学家做出了关键的贡献，特别是冯•诺依曼（J.vonNeumann）,他提出的计算机结构，使用到今天。除了冯•诺依曼，提出现代计算机设计思想的数学家还有图灵（A.Turing）。图灵为了解决数理逻辑中的一个基本理论问题——相容性以及数学问题机械可解性或可计算性的判别，而提出了他的理想计算机理论，图灵的理想计算机现在也叫“图灵机”，值得一提的是，现在计算机领域的最高奖项（“图灵奖”）就是一其名字命名的。电子计算机的发明与发展再一次表明，人类计算工具的改进是离不开数学与数学家的贡献。二、计算机影响下的数学电子计算机是数学与工程技术相结合的产物，是抽象数学成果应用的光辉例证。反过来，计算机正日益成为数学研究本身的崭新手段，通过科学计算、数值模拟、图像显示等日益改变数学研究的面貌。另一方面，计算机的设计，改进与使用提出的大量问题，又为数学重许多分支的理论发展注入了新的活力。2.1 计算数学的兴旺计算机极大地扩展了数学的应用范围与能力，在推动科学技术进展方面发挥着越来越重要的作用。数值天气预报是利用计算机进行成功的科学计算的早期例子。在20世纪下半叶，与气象学一样，一系列科学与工程领域的发展开始依赖于在计算机上进行的大规模科学计算。但这方面的实践使人们差不多从一开始就认识到：计算能力的提高固然要靠计算工具的改进，另一方面却也与所用的计算方法的效能密切相关，计算方法对于计算速度的提高可以说是与计算机硬件同等重要。这就导致了计算方法研究的空前活跃，并形成了一门原来分散在数学个分支的计算方法为基础的新的数学分支——计算数学。技术数学不仅设计、改进各种数值计算方法，同时还研究与这些计算方法有关的误差分析、收敛性、稳定性等问题，冯•诺依曼也是这门学科的早期奠基人。在20世纪50、60年代，一批适于计算机应用的计算方法应运而生，它们中有：计算大型线形代数方程的稀疏矩阵法（1960年代）、与计算机辅助设计密切相关的样条函数（1946、1962、1972），计算有限傅里叶级数的快速傅里叶变换（1965）等等。特别是，计算机给微分方程的离散化近似求解带来了无限的前景。与此同时,另一种新的强有力的离散化方法——有限元方法被创造出来。20世纪后半叶，一系列计算性应用科学如计算力学、计算物理、计算化学、计算考古学等的形成，已使计算数学成为目前最兴旺的数学分支。2.2 纯粹数学研究与计算机随着计算机的发展，纯粹数学正在获得丰富的回报。计算机已经进入越来越多的数学领域，并且常常带来意想不到的成果。数学家只用纸和笔的时代将成为过去。已有100多年的历史的四色定理，就是一个鼓舞人心的范例。在19世纪虽经德摩根、凯莱等大数学家的探讨仍悬而未决。20世纪初，数学家们将四色定理的证明归结为寻找一组特殊图形——“不可避免可约图”的集合。但后来发现它们面临的是数以万计的图形，从而认识到了计算机庞大的图形集合的能力可能是问题解决的关键。哈肯和阿佩尔两位数学家关于四色定理得证明，其主要的和关键的部分是依靠计算机完成，整个过程涉及的巨量计算，最后的计算花费了1 200多个计算机小时。这一切意味着自电子计算机诞生以来就一直在酝酿着数学变革开始了。在计算机上进行人工不可能完成的巨量计算，不仅是数学家们得以证明一些已知的困难定理，而且还帮助他们猜测新的事实、发现新的定理。这方面最突出的例子有孤立子（Soliton）和混沌（Chaos）的发现，它们都可以看作是20世纪的重大数学成就。蒙德尔布罗用计算机开辟了一个新的数学分支——混沌动力学，一个真正属于计算机时代的数学分支，它不仅已成为描述自然界不规则现象的数学工具，而且它所产生的那些变换无穷、精美绝伦的混沌图案，还堂皇地进入了现代艺术的殿堂。2.3 计算机科学中的数学现代计算机科学不仅离不开数理逻辑,而且要借助数论，代数学、组合数学乃至代数几何等众多数学分支的概念、方法和理论，同时新型计算机的研制还呼唤着新的数学思想。这是一个广大的探索领域，以下仅以组合数学、模糊数学和机器证明为例来说明这方面的发展。2.3.1 组合数学组合数学也称组合分析或组合论，有着古老的起源。现代组合数学研究任意一组离散性事物如何按一定规则安排成各种集合，包括这种安排的存在性、计数、构造和优化等。由于对象的离散特性，各种组合问题的计算量往往都十分巨大，高速计算机自然为这些问题的提供了有力的武器，在计算机上解算各种组合问题的实践对理论计算机科学，特别是其中与算法有关的部分，如算法有效性理论的研究产生了深远的影响。2.3.2 模糊数学1965年，美国数学家扎德（L.A.Zadeh）发表论文《模糊集合》（FuzzySets），开辟了一门新的数学分支——模糊数学。模糊性是事物复杂性表现的一个方面，随着电子计算机的发展以及它对日益复杂的系统的应用，处理模糊性问题的要求也比以往显得突出，这是模糊数学产生的背景。由于人脑的思维包括有精确的与模糊的两个方面，因此模糊数学在人工智能模拟方面具有重要意义。模糊数学已被应用于专家系统、知识工程等方面，与新型计算机的研制又密切的关系。模糊数学是20世纪数学发展中的新事物，它在理论上还不够成熟，方法上也未成统一，它将随着计算机科学的发展而进一步发展。2.3.3 机器证明计算机发展的最终目标是模拟人类智能，用机器代替人的思维，而不仅仅是进行计算。定理机器证明在人工智能的发展中有重要影响。这里所说的机器证明是指针对整类问题的一般化的机械证明，而有别于像四色定理证明中那样通过完成必要的巨量数值或组合计算来得出定理的证明。1976年以后，我国数学家吴文俊开辟了一条定理机器证明的代数化途径。吴文俊的方法将要证明的问题归结为纯代数问题，并有一整套高度机械化的代数关系整理程序。早在20世纪70年代，数学家中已经有人展望“将来会出现一个数学研究的新时代，那时计算机将成为数学研究必不可少的工具”。20世纪下半叶计算机与数学科学之间的相互作用与相互影响充分表明，数学研究的这一新时代已经开始来领。
参考文献
[1] 李文林《数学史概论<第二版>》高等教育出版社，2000年