一步一图一代码，一定要让你真正彻底明白红黑树
2013-05-18 20:55
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一步一图一代码，一定要让你真正彻底明白红黑树
作者：July 二零一一年一月九日
-----------------------------
本文参考：
I、 The Art of Computer Programming Volume I
II、 Introduction to Algorithms, Second Edition
III、The Annotated STL Sources
IV、 Wikipedia
V、 Algorithms In C Third Edition
VI、 本人写的关于红黑树的前三篇文章：
第一篇：教你透彻了解红黑树：
http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2010/12/29/6105630.aspx
第二篇：红黑树算法的层层剖析与逐步实现
http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2010/12/31/6109153.aspx
第三篇：教你彻底实现红黑树：红黑树的c源码实现与剖析
http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/03/6114226.aspx
---------------------------------------------
前言：
1、有读者反应，说看了我的前几篇文章，对红黑树的了解还是不够透彻。
2、我个人觉得，如果我一步一步，用图+代码来阐述各种插入、删除情况，可能会更直观易懂。
3、既然写了红黑树，那么我就一定要把它真正写好，让读者真正彻底明白红黑树。
本文相对我前面红黑树相关的3篇文章，主要有以下几点改进：
1.图、文字叙述、代码编写，彼此对应，明朗而清晰。
2.宏观总结，红黑树的性质与插入、删除情况的认识。
3.代码来的更直接，结合图，给你最直观的感受，彻底明白红黑树。
ok，首先，以下几点，你现在应该是要清楚明白了的：
I、红黑树的五个性质：
1）每个结点要么是红的，要么是黑的。
2）根结点是黑的。
3）每个叶结点，即空结点（NIL）是黑的。
4）如果一个结点是红的，那么它的俩个儿子都是黑的。
5）对每个结点，从该结点到其子孙结点的所有路径上包含相同数目的黑结点。
II、红黑树插入的几种情况：
情况1，z的叔叔y是红色的。
情况2：z的叔叔y是黑色的，且z是右孩子
情况3：z的叔叔y是黑色的，且z是左孩子
III、红黑树删除的几种情况。
情况1：x的兄弟w是红色的。
情况2：x的兄弟w是黑色的，且w的俩个孩子都是黑色的。
情况3：x的兄弟w是黑色的，且w的左孩子是红色，w的右孩子是黑色。
情况4：x的兄弟w是黑色的，且w的右孩子是红色的。
除此之外，还得明确一点：
IV、我们知道，红黑树插入、或删除结点后，
可能会违背、或破坏红黑树的原有的性质，
所以为了使插入、或删除结点后的树依然维持为一棵新的红黑树，
那就要做俩方面的工作：
1、部分结点颜色，重新着色
2、调整部分指针的指向，即左旋、右旋。
V、并区别以下俩种操作：
1)红黑树插入、删除结点的操作，RB-INSERT(T, z)，RB-DELETE(T, z)
2).红黑树已经插入、删除结点之后，
为了保持红黑树原有的红黑性质而做的恢复与保持红黑性质的操作。
如RB-INSERT-FIXUP(T, z)，RB-DELETE-FIXUP(T, x)
以上这5点，我已经在我前面的2篇文章，都已阐述过不少次了，希望，你现在已经透彻明了。
---------------------------------------------------------------------
本文，着重图解分析红黑树插入、删除结点后为了维持红黑性质而做修复工作的各种情况。
[下文各种插入、删除的情况，与我的第二篇文章，红黑树算法的实现与剖析相对应]
ok，开始。
一、在下面的分析中，我们约定：
要插入的节点为，N
父亲节点，P
祖父节点，G
叔叔节点，U
兄弟节点，S
如下图所示，找一个节点的祖父和叔叔节点:
node grandparent(node n) //祖父
{
return n->parent->parent;
}
node uncle(node n) //叔叔
{
if (n->parent == grandparent(n)->left)
return grandparent(n)->right;
else
return grandparent(n)->left;
}
二、红黑树插入的几种情况
情形1: 新节点N位于树的根上，没有父节点
void insert_case1(node n) {
if (n->parent == NULL)
n->color = BLACK;
else
insert_case2(n);
}
情形2: 新节点的父节点P是黑色
void insert_case2(node n) {
if (n->parent->color == BLACK)
return; /* 树仍旧有效 */
else
insert_case3(n);
}
情形3:父节点P、叔叔节点U，都为红色，
[对应第二篇文章中，的情况1：z的叔叔是红色的。]
void insert_case3(node n) {
if (uncle(n) != NULL && uncle(n)->color == RED) {
n->parent->color = BLACK;
uncle(n)->color = BLACK;
grandparent(n)->color = RED;
insert_case1(grandparent(n)); //因为祖父节点可能是红色的，违反性质4，递归情形1.
}
else
insert_case4(n); //否则，叔叔是黑色的，转到下述情形4处理。
此时新插入节点N做为P的左子节点或右子节点都属于上述情形3,上图仅显示N做为P左子的情形。
情形4: 父节点P是红色，叔叔节点U是黑色或NIL;
插入节点N是其父节点P的右孩子，而父节点P又是其父节点的左孩子。
[对应我第二篇文章中，的情况2：z的叔叔是黑色的，且z是右孩子]
void insert_case4(node n) {
if (n == n->parent->right && n->parent == grandparent(n)->left) {
rotate_left(n->parent);
n = n->left;
} else if (n == n->parent->left && n->parent == grandparent(n)->right) {
rotate_right(n->parent);
n = n->right;
}
insert_case5(n); //转到下述情形5处理。
情形5: 父节点P是红色，而叔父节点U 是黑色或NIL，
要插入的节点N 是其父节点的左孩子，而父节点P又是其父G的左孩子。
[对应我第二篇文章中，情况3：z的叔叔是黑色的，且z是左孩子。]
void insert_case5(node n) {
n->parent->color = BLACK;
grandparent(n)->color = RED;
if (n == n->parent->left && n->parent == grandparent(n)->left) {
rotate_right(grandparent(n));
} else {
/* 反情况，N 是其父节点的右孩子，而父节点P又是其父G的右孩子 */
rotate_left(grandparent(n));
}
}
三、红黑树删除的几种情况
上文我们约定，兄弟节点设为S，我们使用下述函数找到兄弟节点:
struct node * sibling(struct node *n) //找兄弟节点
{
if (n == n->parent->left)
return n->parent->right;
else
return n->parent->left;
}
情况1: N 是新的根。
void
delete_case1(struct node *n)
{
if (n->parent != NULL)
delete_case2(n);
}
情形2：兄弟节点S是红色
[对应我第二篇文章中，情况1：x的兄弟w是红色的。]
void delete_case2(struct node *n)
{
struct node *s = sibling(n);
if (s->color == RED) {
n->parent->color = RED;
s->color = BLACK;
if (n == n->parent->left)
rotate_left(n->parent); //左旋
else
rotate_right(n->parent);
}
delete_case3(n);
}
情况 3: 兄弟节点S是黑色的，且S的俩个儿子都是黑色的。但N的父节点P，是黑色。
[对应我第二篇文章中，情况2：x的兄弟w是黑色的，且兄弟w的俩个儿子都是黑色的。
(这里，父节点P为黑)]
void delete_case3(struct node *n)
{
struct node *s = sibling(n);
if ((n->parent->color == BLACK) &&
(s->color == BLACK) &&
(s->left->color == BLACK) &&
(s->right->color == BLACK)) {
s->color = RED;
delete_case1(n->parent);
} else
delete_case4(n);
}
情况4: 兄弟节点S 是黑色的、S 的儿子也都是黑色的，但是 N 的父亲P，是红色。
[还是对应我第二篇文章中，情况2：x的兄弟w是黑色的，且w的俩个孩子都是黑色的。
(这里，父节点P为红)]
void delete_case4(struct node *n)
{
struct node *s = sibling(n);
if ((n->parent->color == RED) &&
(s->color == BLACK) &&
(s->left->color == BLACK) &&
(s->right->color == BLACK)) {
s->color = RED;
n->parent->color = BLACK;
} else
delete_case5(n);
}
情况5: 兄弟S为黑色，S 的左儿子是红色，S 的右儿子是黑色，而N是它父亲的左儿子。
//此种情况，最后转化到下面的情况6。
[对应我第二篇文章中，情况3：x的兄弟w是黑色的，w的左孩子是红色，w的右孩子是黑色。]
void delete_case5(struct node *n)
{
struct node *s = sibling(n);
if (s->color == BLACK)
if ((n == n->parent->left) &&
(s->right->color == BLACK) &&
(s->left->color == RED)) {
// this last test is trivial too due to cases 2-4.
s->color = RED;
s->left->color = BLACK;
rotate_right(s);
} else if ((n == n->parent->right) &&
(s->left->color == BLACK) &&
(s->right->color == RED)) {
// this last test is trivial too due to cases 2-4.
s->color = RED;
s->right->color = BLACK;
rotate_left(s);
}
}
delete_case6(n); //转到情况6。
情况6: 兄弟节点S是黑色，S的右儿子是红色，而 N 是它父亲的左儿子。
[对应我第二篇文章中，情况4:x的兄弟w是黑色的，且w的右孩子时红色的。]
void delete_case6(struct node *n)
{
struct node *s = sibling(n);
s->color = n->parent->color;
n->parent->color = BLACK;
if (n == n->parent->left) {
s->right->color = BLACK;
rotate_left(n->parent);
} else {
s->left->color = BLACK;
rotate_right(n->parent);
}
}
//呵呵，画这12张图，直接从中午画到了晚上。希望，此文能让你明白。
四、红黑树的插入、删除情况时间复杂度的分析
因为每一个红黑树也是一个特化的二叉查找树，
因此红黑树上的只读操作与普通二叉查找树上的只读操作相同。
然而，在红黑树上进行插入操作和删除操作会导致不再符合红黑树的性质。
恢复红黑树的属性需要少量(O(log n))的颜色变更(实际是非常快速的)和
不超过三次树旋转(对于插入操作是两次)。
虽然插入和删除很复杂，但操作时间仍可以保持为 O(log n) 次。
ok，完。
后记：
此红黑树系列，前前后后，已经写了4篇文章，如果读者读完了这4篇文章，
对红黑树有一个相对之前来说，比较透彻的理解，
那么，也不枉费，我花这么多篇幅、花好几个钟头去画红黑树了。
真正理解一个数据结构、算法，最紧要的还是真正待用、实践的时候体会。
欢迎，各位，将现在、或以后学习、工作中运用此红黑树结构、算法的经验与我分享。
谢谢。:D。
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作者声明:
本人July对本博客所有文章和资料享有版权，转载、或引用任何内容请注明出处。
向您的厚道致敬。谢谢。二零一一年一月九日。
作者：July 二零一一年一月九日
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本文参考：
I、 The Art of Computer Programming Volume I
II、 Introduction to Algorithms, Second Edition
III、The Annotated STL Sources
IV、 Wikipedia
V、 Algorithms In C Third Edition
VI、 本人写的关于红黑树的前三篇文章：
第一篇：教你透彻了解红黑树：
http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2010/12/29/6105630.aspx
第二篇：红黑树算法的层层剖析与逐步实现
http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2010/12/31/6109153.aspx
第三篇：教你彻底实现红黑树：红黑树的c源码实现与剖析
http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/03/6114226.aspx
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前言：
1、有读者反应，说看了我的前几篇文章，对红黑树的了解还是不够透彻。
2、我个人觉得，如果我一步一步，用图+代码来阐述各种插入、删除情况，可能会更直观易懂。
3、既然写了红黑树，那么我就一定要把它真正写好，让读者真正彻底明白红黑树。
本文相对我前面红黑树相关的3篇文章，主要有以下几点改进：
1.图、文字叙述、代码编写，彼此对应，明朗而清晰。
2.宏观总结，红黑树的性质与插入、删除情况的认识。
3.代码来的更直接，结合图，给你最直观的感受，彻底明白红黑树。
ok，首先，以下几点，你现在应该是要清楚明白了的：
I、红黑树的五个性质：
1）每个结点要么是红的，要么是黑的。
2）根结点是黑的。
3）每个叶结点，即空结点（NIL）是黑的。
4）如果一个结点是红的，那么它的俩个儿子都是黑的。
5）对每个结点，从该结点到其子孙结点的所有路径上包含相同数目的黑结点。
II、红黑树插入的几种情况：
情况1，z的叔叔y是红色的。
情况2：z的叔叔y是黑色的，且z是右孩子
情况3：z的叔叔y是黑色的，且z是左孩子
III、红黑树删除的几种情况。
情况1：x的兄弟w是红色的。
情况2：x的兄弟w是黑色的，且w的俩个孩子都是黑色的。
情况3：x的兄弟w是黑色的，且w的左孩子是红色，w的右孩子是黑色。
情况4：x的兄弟w是黑色的，且w的右孩子是红色的。
除此之外，还得明确一点：
IV、我们知道，红黑树插入、或删除结点后，
可能会违背、或破坏红黑树的原有的性质，
所以为了使插入、或删除结点后的树依然维持为一棵新的红黑树，
那就要做俩方面的工作：
1、部分结点颜色，重新着色
2、调整部分指针的指向，即左旋、右旋。
V、并区别以下俩种操作：
1)红黑树插入、删除结点的操作，RB-INSERT(T, z)，RB-DELETE(T, z)
2).红黑树已经插入、删除结点之后，
为了保持红黑树原有的红黑性质而做的恢复与保持红黑性质的操作。
如RB-INSERT-FIXUP(T, z)，RB-DELETE-FIXUP(T, x)
以上这5点，我已经在我前面的2篇文章，都已阐述过不少次了，希望，你现在已经透彻明了。
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本文，着重图解分析红黑树插入、删除结点后为了维持红黑性质而做修复工作的各种情况。
[下文各种插入、删除的情况，与我的第二篇文章，红黑树算法的实现与剖析相对应]
ok，开始。
一、在下面的分析中，我们约定：
要插入的节点为，N
父亲节点，P
祖父节点，G
叔叔节点，U
兄弟节点，S
如下图所示，找一个节点的祖父和叔叔节点:
node grandparent(node n) //祖父
{
return n->parent->parent;
}
node uncle(node n) //叔叔
{
if (n->parent == grandparent(n)->left)
return grandparent(n)->right;
else
return grandparent(n)->left;
}
二、红黑树插入的几种情况
情形1: 新节点N位于树的根上，没有父节点
void insert_case1(node n) {
if (n->parent == NULL)
n->color = BLACK;
else
insert_case2(n);
}
情形2: 新节点的父节点P是黑色
void insert_case2(node n) {
if (n->parent->color == BLACK)
return; /* 树仍旧有效 */
else
insert_case3(n);
}
情形3:父节点P、叔叔节点U，都为红色，
[对应第二篇文章中，的情况1：z的叔叔是红色的。]
void insert_case3(node n) {
if (uncle(n) != NULL && uncle(n)->color == RED) {
n->parent->color = BLACK;
uncle(n)->color = BLACK;
grandparent(n)->color = RED;
insert_case1(grandparent(n)); //因为祖父节点可能是红色的，违反性质4，递归情形1.
}
else
insert_case4(n); //否则，叔叔是黑色的，转到下述情形4处理。
此时新插入节点N做为P的左子节点或右子节点都属于上述情形3,上图仅显示N做为P左子的情形。
情形4: 父节点P是红色，叔叔节点U是黑色或NIL;
插入节点N是其父节点P的右孩子，而父节点P又是其父节点的左孩子。
[对应我第二篇文章中，的情况2：z的叔叔是黑色的，且z是右孩子]
void insert_case4(node n) {
if (n == n->parent->right && n->parent == grandparent(n)->left) {
rotate_left(n->parent);
n = n->left;
} else if (n == n->parent->left && n->parent == grandparent(n)->right) {
rotate_right(n->parent);
n = n->right;
}
insert_case5(n); //转到下述情形5处理。
情形5: 父节点P是红色，而叔父节点U 是黑色或NIL，
要插入的节点N 是其父节点的左孩子，而父节点P又是其父G的左孩子。
[对应我第二篇文章中，情况3：z的叔叔是黑色的，且z是左孩子。]
void insert_case5(node n) {
n->parent->color = BLACK;
grandparent(n)->color = RED;
if (n == n->parent->left && n->parent == grandparent(n)->left) {
rotate_right(grandparent(n));
} else {
/* 反情况，N 是其父节点的右孩子，而父节点P又是其父G的右孩子 */
rotate_left(grandparent(n));
}
}
三、红黑树删除的几种情况
上文我们约定，兄弟节点设为S，我们使用下述函数找到兄弟节点:
struct node * sibling(struct node *n) //找兄弟节点
{
if (n == n->parent->left)
return n->parent->right;
else
return n->parent->left;
}
情况1: N 是新的根。
void
delete_case1(struct node *n)
{
if (n->parent != NULL)
delete_case2(n);
}
情形2：兄弟节点S是红色
[对应我第二篇文章中，情况1：x的兄弟w是红色的。]
void delete_case2(struct node *n)
{
struct node *s = sibling(n);
if (s->color == RED) {
n->parent->color = RED;
s->color = BLACK;
if (n == n->parent->left)
rotate_left(n->parent); //左旋
else
rotate_right(n->parent);
}
delete_case3(n);
}
情况 3: 兄弟节点S是黑色的，且S的俩个儿子都是黑色的。但N的父节点P，是黑色。
[对应我第二篇文章中，情况2：x的兄弟w是黑色的，且兄弟w的俩个儿子都是黑色的。
(这里，父节点P为黑)]
void delete_case3(struct node *n)
{
struct node *s = sibling(n);
if ((n->parent->color == BLACK) &&
(s->color == BLACK) &&
(s->left->color == BLACK) &&
(s->right->color == BLACK)) {
s->color = RED;
delete_case1(n->parent);
} else
delete_case4(n);
}
情况4: 兄弟节点S 是黑色的、S 的儿子也都是黑色的，但是 N 的父亲P，是红色。
[还是对应我第二篇文章中，情况2：x的兄弟w是黑色的，且w的俩个孩子都是黑色的。
(这里，父节点P为红)]
void delete_case4(struct node *n)
{
struct node *s = sibling(n);
if ((n->parent->color == RED) &&
(s->color == BLACK) &&
(s->left->color == BLACK) &&
(s->right->color == BLACK)) {
s->color = RED;
n->parent->color = BLACK;
} else
delete_case5(n);
}
情况5: 兄弟S为黑色，S 的左儿子是红色，S 的右儿子是黑色，而N是它父亲的左儿子。
//此种情况，最后转化到下面的情况6。
[对应我第二篇文章中，情况3：x的兄弟w是黑色的，w的左孩子是红色，w的右孩子是黑色。]
void delete_case5(struct node *n)
{
struct node *s = sibling(n);
if (s->color == BLACK)
if ((n == n->parent->left) &&
(s->right->color == BLACK) &&
(s->left->color == RED)) {
// this last test is trivial too due to cases 2-4.
s->color = RED;
s->left->color = BLACK;
rotate_right(s);
} else if ((n == n->parent->right) &&
(s->left->color == BLACK) &&
(s->right->color == RED)) {
// this last test is trivial too due to cases 2-4.
s->color = RED;
s->right->color = BLACK;
rotate_left(s);
}
}
delete_case6(n); //转到情况6。
情况6: 兄弟节点S是黑色，S的右儿子是红色，而 N 是它父亲的左儿子。
[对应我第二篇文章中，情况4:x的兄弟w是黑色的，且w的右孩子时红色的。]
void delete_case6(struct node *n)
{
struct node *s = sibling(n);
s->color = n->parent->color;
n->parent->color = BLACK;
if (n == n->parent->left) {
s->right->color = BLACK;
rotate_left(n->parent);
} else {
s->left->color = BLACK;
rotate_right(n->parent);
}
}
//呵呵，画这12张图，直接从中午画到了晚上。希望，此文能让你明白。
四、红黑树的插入、删除情况时间复杂度的分析
因为每一个红黑树也是一个特化的二叉查找树，
因此红黑树上的只读操作与普通二叉查找树上的只读操作相同。
然而，在红黑树上进行插入操作和删除操作会导致不再符合红黑树的性质。
恢复红黑树的属性需要少量(O(log n))的颜色变更(实际是非常快速的)和
不超过三次树旋转(对于插入操作是两次)。
虽然插入和删除很复杂，但操作时间仍可以保持为 O(log n) 次。
ok，完。
后记：
此红黑树系列，前前后后，已经写了4篇文章，如果读者读完了这4篇文章，
对红黑树有一个相对之前来说，比较透彻的理解，
那么，也不枉费，我花这么多篇幅、花好几个钟头去画红黑树了。
真正理解一个数据结构、算法，最紧要的还是真正待用、实践的时候体会。
欢迎，各位，将现在、或以后学习、工作中运用此红黑树结构、算法的经验与我分享。
谢谢。:D。
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向您的厚道致敬。谢谢。二零一一年一月九日。
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