数字问题之斐波那契数列全解<Java实现>
2012-11-26 11:28
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/** * 斐波那契数列问题: * 0 n=0; * F(n)= 1 n=1; * F(n-1)+F(n-2) n>1; * @author Sking 1.利用递推公式: 利用F(n)=F(n-1)+F(n-2) 2.利用通项公式: F(n)=sqrt(5)/5*((1+sqrt(5))/2)^n-sqrt(5)/5*((1-sqrt(5))/2)^n 3.利用二阶递推关系: (F(n),F(n-1))=(F(n-1),F(n-2))*A A为二阶方阵,为 1 1 1 0 则(F(n),F(n-1))=(F(n-1),F(n-2))*A=(F(n-2),F(n-3))*A^2....=(F1,F0)*A^(n-1) */ package 数字问题; public class 斐波那契数列 { /** * 递归方法求解斐波那契数列问题 * @param n 数列下标 * @return 指定数的斐波那契值 */ public static int fibonacci0(int n){ if(n<=0) return 0; if(n==1) return 1; else return fibonacci0(n-1)+fibonacci0(n-2); } /** * 预处理,使用数组存储计算过的值 * @param n 斐波那契数列长度 * @return 存储斐波那契数列的数组 */ public static int[] preDo(int n){ if(n<=0) return new int[]{1}; if(n==1) return new int[]{0,1}; int[] array=new int[n+1]; array[0]=0; array[1]=1; for(int i=2;i<=n;i++) array[i]=array[i-1]+array[i-2]; return array; } /** * 利用数组存储改进解斐波那契数列问题 * @param n 数列下标 * @return 指定数的斐波那契值 */ public static int fibonacci1(int n){ int[] fibonacci=preDo(n); return fibonacci ; } /** * 利用通项公式求解斐波那契数列问题 * 性能:O(1) * 性能瓶颈:引入无理数,不能保证结果的精度 * @param n 数列下标 * @return 指定数的斐波那契值 */ public static int fibonacci2(int n){ double a= Math.pow((Math.sqrt(5)+1)/2, n); double b= Math.pow((1-Math.sqrt(5))/2, n); return (int)(Math.sqrt(5)/5*a-Math.sqrt(5)/5*b); } /** * 利用二阶递推关系求解斐波那契数列问题 * 时间复杂度:O(log2(n)) * @param n 数列下标 * @return 指定数的斐波那契值 * @throws Exception 矩阵异常 */ public static int fibonacci3(int n) throws Exception{ int[][] array=new int[][]{{1,1},{1,0}}; SquareMatrix A=new SquareMatrix(array); SquareMatrix an=SquareMatrix.SquareMatrixPow(A, n-1); //(F(n),F(n-1))==(F1,F0)*A^(n-1)=(1,0)*A^(n-1) return an.values[0][0]; } } /** * 方阵类 * @author Sking */ class SquareMatrix{ protected int size;//方阵大小 protected int values[][];//元素数组 /** * 指定大小的构造函数 * @param size 方阵的大小 */ public SquareMatrix(int size) { this.size = (size > 0) ? size : 1; values = new int[size][size]; } /** * 指定元素数组的构造函数 * @param array 用于赋值的元素数组 */ public SquareMatrix(int[][] array){ values=array; size=array.length; } /** * 计算当前方阵与指定方阵相乘结果 * @param m 指定方阵 * @return 当前方阵与指定方阵相乘结果 * @throws Exception 矩阵相乘条件不满足,抛出异常 */ public SquareMatrix multiply(SquareMatrix m) throws Exception{ if(this.size!=m.size) throw new Exception("两矩阵不满足相乘条件!"); int pv[][] = new int[m.size][m.size]; for (int r = 0; r < m.size; ++r) { for (int c = 0; c < m.size; ++c) { int dot = 0; for (int k = 0; k < m.size; ++k) { dot += values[r][k] * m.values[k][c]; } pv[r][c] = dot; } } return new SquareMatrix(pv); } /** * 计算矩阵的幂方 * @param m 指定矩阵 * @param n 幂方指数 * @return 指定矩阵的幂方 * @throws Exception */ public static SquareMatrix SquareMatrixPow(SquareMatrix m,int n) throws Exception{ int s=m.size; SquareMatrix result=new SquareMatrix(s); for(int i=0;i<result.size;i++)//结果矩阵初始设置为单位矩阵 for(int j=0;j<result.size;j++) result.values[i][j]=(i==j)?1:0; SquareMatrix temp=m; for(;n!=0;n>>=1){ if((n&1)!=0) result=result.multiply(temp); temp=temp.multiply(temp); } return result; } }
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