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Matlab 中的线性规划函数使用方法

2012-08-19 17:24 375 查看
线性规划

LP(Linear programming,线性规划)是一种优化方法,在优化问题中目标函数和约束函数均为向量变量的线性函数,LP问题可描述为:

min x

s.t.

A·x b

Aeq·x=beq

vlb x vub

其中 ,b,beq均为向量,A,Aeq为矩阵,x为向量变量.矩阵A和向量b是线性不等式约束条件的系数,Aeq和beq是等式约束条件的系数.

在MATLAB中,用于LP的求解函数为linprog.其调用格式为:

[x,fval,lambda]=linprog

(f,A,b,Aeq,beq,vlb,vub,x0,options)

其中f,A,b,是不可缺省的输入变量,x是不可缺省的输出变量,它是问题的解.vlb,vub均是向量,分别表示x的下界和上界,x0为x的起始点,options为optimset函数中定义的参数的值,fval是目标函

数在解x处的值,lambda为在解x处的lagrange乘子.lambda.lower对应于vlb,lambda.upper对应于ulb,lambda.ineqlin是对应于线性不等式约束的,lambda.eqlin是对应于线性等式约束的.

下面举一个小例子看看函数的作用:

minZ=-4a+b+7c

s.t.

a+b-c=5 3a-b+c<=4

a+b-4c<=-7 a,b>=0

问a,b,c分别取何值时,Z有最小值

编写M文件

c=[-4 1 7];

A=[3 -1 1;1 1 -4];

b=[4; -7];

Aeq=[1 1 -1];

beq=[5];vlb=[0, 0];

vub=[];[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)

结果:x = 2.2500 6.7500 4.0000fval = 25.7500

即a,b,c分别取2.2500 6.7500 4.0000时,Z有最小值25.7500

更加详细的例子如下,因为上面没有讲明最大值与最小值的区别,补充如下:

函数格式:linprog(f,a,b,a1,b1,xstart,xend)

f:求解最小函数的表达式系数矩阵是m*1的矩阵

a:≤不等式条件约束矩阵其均为形式

b:a对应不等式右边的常数项

a1:=等式条件约束矩阵
b1:a1对应不等式右边的常数项

xstart:x的取值范围的最小值的系数矩阵为n*1的矩阵

xend:x的取值范围的最大值的系数矩阵为n*1的矩阵

函数说明:不存在的项填写[]即可

函数功能:线性规划求最优值.

例子1:

求f=3*x1+6*x2+2*x3的最大值

满足的条件是

3*x1+4*x2+x3≤2

x1+3*x2+2*x3≤1

且x1、x2、x3均大于等于0

Matlab求解如下
a =[ 3 4 1
1 3 2 ]
b =[ 2
1 ]
f=[ -3
-6
-2 ]%这里为什么会是负数,因为Matlab求的是f的最小值,要求最大值则取要求系数的相反数即可.

x=[ 0
0
0 ]
linprog(f,a,b,[],[],x,[])%执行的matlab命令后输出的如下内容.注意这里的[]表示那一项不存在.当然最后那一个[]也可以不要即linprog(f,a,b,[],[],x)

Optimization terminated.

ans =

0.4000

0.2000

0.0000%即x1=0.4,x2=0.2,x3=0为最优解.带回原式我可以知道f的最大值=3*0.4+6*0.2=2.4

例子2:

求f=-2*x1-3*x2-x3的最小值

满足的条件是

x1+x2+x3≤3

x1+4*x2+7*x3+x4=9

且x1、x2、x3、x4均大于等于0

Matlab求解如下
原题等价于求f=-2*x1-3*x2-x3+0*x4的最小值

其条件等价于
x1+x2+x3+0*x4≤3

x1+4*x2+7*x3+x4=9

则在Matlab输入如下内容

a=[1 1 1 0]
b=[3]
a1=[1 4 7 1]
b1=[9]
x=[ 0
0
0
0]
f=[ -2
-3
-1
0]
linprog(f,a,b,a1,b1,x)%执行命令或者输入linprog(f,a,b,a1,b1,x,[])

Optimization terminated.

ans =

1.0000

2.0000

0.0000

0.0000%说明x1=1,x2=2,x3=0,x4=0取得最小值
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