射影几何入门（译者序，作者前言，目录）

。射影几何入门封面译者序
1. 什么是射影几何？学习射影几何的意义   射影几何或称投影几何（Projective Geometry），是由研究人类观察物体所得图形而产生的一门几何，它与透视绘图艺术密切相关。人们观察各种物体所得图形与物体本身的图形不同，其大小会因视线与物体之间的垂直距离增加而变小，而形状则随观察方位不同而变得千差万别：一个圆可变成一个椭圆或一条双曲线或抛物线，特殊情况下，圆形能变成一条线；一个立方体是由6个相同大小的正方形面组成，但我们观察立方体时6个面会变成台形、长方形、菱形、或任意四边形，而绝对不可能看到6个相同大小的正方形。研究物体本身形状的几何是欧氏几何，而研究观察所得事物形状的几何是射影几何。射影几何最关心的不是长度多少、角度大小等欧氏几何关心的度量性质，这些在射影几何中都是可变的，而是考察图形不随观察改变的各种性质，如一点在一直线上或几个点同在一条线上，或几根直线相交于同一点，等。射影几何考察的图形因与观察者的位置有关而被一些人称为位置几何。至于为什么叫射影几何或投影几何，这是因为它所研究的图形，是由投影造成的，其中包括观察事物所造成，实际上，观察就是一种投影的过程：将物体的形状投影到人眼眼底视网膜上。    射影几何是一门十分精密的数学分支，它的整个理论体系能从少数几条公理出发，应用纯逻辑方法演绎得到，但它同时又是一门实用价值很高的学科，它向来是美术家、建筑师、各种3D产品的形象设计师们必需掌握的一门必修基础课。近年来，随着电脑应用大量转向图形图像、动画游戏等3D视觉领域，迫切希望获得射影几何知识的各个行业的人员也飞速增长。   射影几何图形最终是以平面几何的图形表示，它的许多问题实际也是很好的平面几何题，并已被大量收于历届奥数竞赛题类中，了解一点射影几何的初步知识对解决这一类难题会有很大帮助。2. 综合射影几何与解析射影几何的差别
   射影几何可用解析与综合两种方法处理。用综合法研究的射影几何，就叫综合射影几何，又称纯净射影几何（Pure Projective Geometry），它和中学平面几何一样，直接考察各种几何图形的相关性质和相互关系。用解析法研究的射影几何，叫解析射影几何，解析法就是把几何元素和图形转换成坐标和方程后再来研究图形的性质。解析法必须利用解析几何与高等代数（线性代数）知识，大量采用符号和公式，读起来相当枯燥难学。而综合法则无需这些数学知识，且形象直观，不但要求的基础低，且入门也容易。如果在网上，如借助于计算机的图形-动画技术，更有可能使课程变得生动有趣。
3. 国内和国外的射影几何书[align=justify]    目前国内所见的射影几何书，因受教学大纲的限制，大都属是解析和综合2种方法混合在一起讲解的射影几何，只有一本1949年商务印书馆出版的Holgate的<Pure Projective Geometry>的中译本为综合射影几何（被译为：何尔盖蒂《射影纯正几何学》），但此书译本有一个致命缺点：是文言文，普通学生很难阅读，且现在也几乎绝迹了。另一方面，在国外，综合射影几何书有不少，如本教程的作者在其序言中所感谢的几位大师，包括Reye、Cremona、Steiner、Poncelet 和 Von Staudt 等，所写的都是综合射影几何的著作，在作者Lehmer之后，也有Ling、Wentworth和Smith（1928）合著的以及由Veblen, Oswald; Young, J. W. A.合著的 (1938), 其中Veblen写的也有用解析的，但综合的很多，包括近期发展，且二者独立开来，Veblen的共有上下册。又H.S.M. Coxeter 1967年写的一本几何书虽不是全部都是综合射影几何，但很多属于综合射影几何，而不用解析法。

4.我为什么选择Lehmer的书来翻译？[/align]    这是因为Lehmer的书介绍的是综合射影几何，并有下列特点：      （a）写得较晚。是综合射影几何发展已完成并成熟后才写成的（注：综合射影几何的发展成熟在解析射影几何之后，详见第十章《射影几何发展史》），因而有条件吸取他人的精华，正如作者所说的“按学科大师们精心打造的轨迹来展开”整个系统，内容安排的顺序合理，全书的理论演绎不以度量概念为基础；       (b）是一本平面射影几何，程度浅，没有很多符号和公式。因是为中学高年级学生或大学新生们准备的书教材（见原作者引论），讲解通俗易懂，没有被符号化，公式化，阅读起来比被符号化公式化的容易；      （c）此书写于100年前，已过了著作权保护期，我翻译此书不会引来侵犯知识产权的纠纷。实际上，此书已在网上可以免费下载，虽然仍有出版商（包括Amazon）将它重新印刷后，仍以几百元的高价出售着。见：http://www.amazon.cn/An-Elementary-Course-in-Synthetic-Projective-Geometry-Lehmer-Derrick-Norman/dp/1163082341      （d）我有它的原版书。这是我家的一本祖传精装书，虽然封面已损，内部页面十分完好，我可以从其中清晰复印任何一幅需要的插图。[b]      （e）我在高考完毕去大学前就已读完并译出了它的大部分，当时此书的观点非常吸引我，且并不感到有什么难懂（少数地方除外），读后感到收获不小，后来在实际工作中多次用上了它讲的东西，所讲的一个工作我在CSDN上也提问过，即用计算机“看出”在一条流水线上流动的立方体箱子的体积，而不用直接去量, 恰无人能解决。但我相信学过射影几何的学生就有可能能解决。另一工作是由CSDN网友Tony提出的一个实际课题：当计算机屏幕利用投影仪投影到幕布后造成的失真时，如何精确计算幕布上的点与计算机屏幕点的位置对应问题。此问题引来许多网友的兴趣，但能正确回复的必须学过射影几何的人才行。[/b]      （f）我从网上也下载了其它作者写的综合射影几何书，一共有6本之多，我从各方面作了比较之后，觉得这本书对初学者最最理想。
5. 中译本为什么叫《射影几何》，不带综合两字？    我是这样考虑的：几何本身就是综合的，如中学里的平面几何是综合的，但不叫综合平面几何，立体几何也一样，不叫综合立体几何，所以综合射影几何也无需加综合两字，简单地叫射影几何就可以了。倒是解析的射影几何才有必要加上解析两字，如同中学的解析几何那样。6. 中译本对原书的补充和修改:    尽管Lehmer的书是好书，但也不是十全十美，还是有些不尽人意、有可改进的地方，包括插图过少、少数证明过于简洁不易读懂、有些概念想讲而未讲或没有讲清楚，等，当然，也免不了还有些差错，我对原书的修改和补充具体有下列几处：
   6.1 增加插图几十幅，插图按小节编号       本书原有插图仅49幅，并全书插图统一编号。中译本有插图近100幅，改按小节编号。       增加插图是为了帮助理解概念，特别是理解空间概念，否则不容易想像出对应正文的正确关系来。一个例子是第一章第8节的6幅插图，它说明3种一维基本形相互之间的6种透视对应，这在原来书上是没有的，如下图所示。


       插图按小节编号，是为了方便，否则，为增加一个插图，书上此后所有插图的编号就都要去更改。   6.2 修改原有质量较差或说明性较差的几幅插图      本书原有插图有的画得不好，如画得很小，所注字母多而稠密，看不清或不易看清所注文字位置，典型例子是原书50页上面图20，原图形状如下面图2a所示，我用作图工具进行了重画，将它放大，如图2b所示。有的图画的过于特殊，如证明三角形底边2点上与无穷远点的调和共轭的点是底边中点，原书用的是等腰三角形，见图7，但其实用不到等腰，我就把它改成了非等腰的任意三角形，虽然结论的证明要复杂一些。    

	改成 =>
图2a 原 图20		图2b 改后的图20

             6.3 补充了原书提到但没有介绍的重要内容      我指的是Cantor利用对角线排列方式将平面点和直线上的点1-1对应，这种1-1 对应在集合论中是一个基本工具，不介绍它就无法理解不同维的点也能1-1对应，也就不知道这种对应和射影几何要求的连续性对应的区别。原书提到了它而没有介绍它，我用2个例子做了这个补充，如图3是其中的一个例子，这一例子说明平面离散格点的对角线排列，因而也就说明平面上的整数格点可以和直线上的整数格点1-1对应。

图3：平面格点的对角线排列
   6.4 补充了原书提到但没有写出的公理理论      原书也提到公理化方法的重要，但原书没有采用，因为对初学者来说，去了解由公理出发形式演绎出所有定理的工作不容易。这当然是对的，但为此，连射影几何的公理是哪些也没有列出来，就有些过分了。为此，我在一个附录中介绍了本书所讲的平面射影几何的公理系统，同时也指明由公理推演定理的繁琐性，以帮助读者理解为什么许多几何书许多都不用公理化处理的理由。但也没有作进一步的推演。
   6.5 补充了原书没有提到的组合数学知识      射影几何有很多地方牵涉组合数学问题。典型例子是Pascal 定理的60条Pascal线。为什么是60条？如何生成它们？这就牵涉到在6点完全图中寻找不同六边形（hexagon）的数目。这是一个组合数学问题，它就和周游世界20个城市有多少走法一样，是在网络中寻找所有不同的Hamilton回路问题。我在第一章中就介绍了这个问题。　　　在射影几何中，牵涉组合数学知识的部分很多，就以60条Pascal线为例，还可以进一步导出60个Brianchon点，60个Kerkman点，60个Steiner点，和45个对边交点，这4种点又和许多线有关，..., 如下面的图1所示。要了解其中所有关系极不容易。我在附录中也提到这张关系图，以让同学引起注意或兴趣。      又如，对于著名的Desargues双三角形定理，也有所谓的10个不同视点[b]（见图2）和120个置换对称问题，我在附录里也介绍了这个问题及Desargues构型的其他对称性。
[/b]   6.6. 增加了一些必要的定理      如2个不同底而射影对应着的点列必能通过2次透视对应来实现，我认为这是一个必须介绍的重要定理，能把射影对应与透视对应的关系清楚的联系起来，原书没有介绍，我在36节中对此作了补充。
   6.7. 纠正了原书的一些原则性错误       我在翻译过程中，发现原书有极少数严重错误，如第10章中把Pascal在证明著名的Pascal定理时所用的引理当作定理。幸好我看到过Pascal证明的全文的复印稿（字迹也模糊不清，但看得清所述部分只是个引理，不是整个定理），就加上了注释。

   6.8. 改变了少数小节的排列顺序      我将原书第95节内容合并放在后面介绍，腾出95节来预先介绍圆的极点和极线。我所以这样做，是因为，一开始就介绍一般圆锥线的极点极线所用的插图过于繁复（见图96），不容易让初学者看懂和理解。先对圆进行讨论，再讨论一般圆锥线的极点极线，就会好理解一些。   6.9. 给出一些定理的详细证明       这有较多处都是这样做了，最明显的是第4章第66节和69节Pascal 定理密切相关的一个定理。其它不一一列举了。

图1 和60条Pascal线有关的点和线



图2 Desargues构型由[b]十点组成，其中任意一点可作为透视中心（蓝点），Desargues定理均成立[/b]作 者 简 介

D. N. Lehmer[align=center][/align]

D. H. Lehmer（子）		Emma Lehmer （媳）

        D. N. Lehmer，美国数学家，1867年生于美Indiana州Sommerset 郡， 1893年在Nebraska 大学毕业，获得学士学位，后去本州的 Worthington 军校担任校长，1900年从芝加哥大学获博士学位 ，同年，他被加州大学伯克利分校数学系聘去任教，后担任系主任，直到1938年他去世前一年才退休。     D. N. Lehmer热爱教学，他说他对教书“比做其它工作更喜欢！”，但他也是一个兴趣极为广泛的人，除了教学及发表大量数学著作外，还从事戏剧创作，并亲自登台演出；他进行素数研究，提出了一个至今未被证明或否定的著名猜想，被后人命名为D.N.Lehmer猜想。并与其子D. H. Lehmer一起，发明了专用的计算机来分解自然数为素数，制成一张直到大于1000万的因子分解表。因为是机器制作的，这是一张与众不同的素数分解表，不会有任何人为因素造成的错误。下图就是1933年3月登载此事的一则新闻报导（不完全），题为 “机器执行困难的数学计算” ，图中可以看到此计算机的实物，中立者即为D. N. Lehmer，右边是他的儿子D. H. Lehmer。这一创作相当不简单，因当时是1933年，离开通用计算机的发明还有10多年！应该说，这对计算机的发明是有贡献的，事实上，D. H. Lehmer及其妻Emma Lehmer (一个俄国人) 后来也均参与了第一台通用电子计算机ENIAC的软件研制。Lehmer王朝：     D. N. Lehmer 去世后，由其子D. H. Lehmer与媳 Emma Lehmer（都是数学家）“统治了”Berkeley数学系。子D. H. Lehmer于1991去世，而媳Emma Lehmer 活到100岁，直到2007年才去世，父子两代人在Berkeley总计超过100年（107年！），这一段时期因此被人誉为是Berkeley大学数学系的“Lehmer王朝”期。

1933年刊物上见到新闻布告：计算机执行困难的数学计算，图中，中为作者，右为其子目         录第1章   集合及其1-1对应...1
1. 集合与集合的1-1对应...1
2. 1-1对应的意义和性质...2
3. 1-1对应在数学中的应用...4
4. 无穷集之间的1-1对应...5
5. 部分和整体的1-1对应，无穷集的定义...10
6. 无穷远点...10
7. 轴束，基本形...12
8. 三种基本形的六种透视对应...13
9. 射影对应关系...15
10. 无穷到1或1到无穷的对应...17
11. 平面点的无穷阶数...17
12. 一阶与二阶无穷集...18
13. 通过空间一点的所有直线...18
14. 通过空间一点的所有平面...18
15. 平面上所有的直线...19
16. 平面系和点系...20
17. 空间中的所有平面...20
18. 空间中的所有点...20
19. 空间系...21
20. 空间中的所有直线...21
21. 点与数间的对应...21
22. 无穷远元素...23
第一章习题...25

第2章 1-1对应 基本形之间的关系...39
23. 七种基本形...39
24. 射影性质...39
25. Desargues 定理...40
26. 关于二个完全四边形的基本定理...41
27. 定理的重要性...42
28. 定理的重述...42
29. 四调和点概念...42
30. 调和共轭的对称性...43
31. 概念的重要性...43
32. 四调和点的射影不变性...45
33. 四调和线...45
34. 四调和平面...45
35. 结果的概要性总结...46
36. 可射影性的定义...46
37. 调和共轭点相互之间的对应...47
38. 调和共轭的元素的隔离...48
39. 无穷远点的调和共轭.48
40. 射影定理和度量定理。线性结构图...49
41. 平行线与中点...49
42. 将线段分成相等的n个部分...50
43. 数值上的关系...50
44. 与四调和点关联的代数公式...51
45. 进一步的公式...52
46.非调和比（交比）...52
第2章习题...53

第3章 射影相关 基本形的结合...55
47. 重叠基本形, 自对应元素...55
48. 射影对应的基本定理，连续性假设...56
49. 定理应用于线束和平面束.57
50. 具有一公共自对应点的射影点列...58
51. 无公共自对应点的射影相关点列...59
52. 透视对应的两个射线束...59
53. 透视对应的面束（轴束）...60
54. 调和元素的射影相关性...60
55. 二阶点列...62
56. 退化的二阶点列...62
57. 二阶线束...62
58. 退化的二阶线束...63
59. 二阶圆锥面...63
第三章习题...63

第4章 二阶点列...65
60. 二阶点列与二阶线束...65
62. 切线...66
63. 轨迹生成问题的几种不同陈述...67
64. 基本问题的解决...67
65.图形的不同作法...68
66. 将轨迹上四点连到第五点的直线...68
67. 定理的另一种陈述形式...70
68. 进一步的基本的定理...70
69. Pascal定理及其逆定理...70
70. Pascal定理中点的名称的替换...73
72. 轨迹的确定...76
73. 作为二阶点列的圆和圆锥线...76
74. 通过五点的圆锥曲线...79
75. 圆锥线的切线...80
76. 内接四边形...80
77. 内接三角形...81
78. 退化圆锥线...82
第四章习题...83

第5章 二阶线束...85
79. 已定义的二阶射线束...85
80. 圆的切线...86
81. 圆锥曲线的切线...87
82. 系统的生成点列线...87
83. 线束的确定...87
84. Brianchon定理...89
85. Brianchon定理中线的替换...90
86. 用Brianchon定理构造线束...90
87. 与一圆锥曲线相切的点...90
88. 外切四边形...91
89. 外切三边形...92
90.  Brianchon定理的应用...92
91. 调和切线...93
92. 可射影性和可透视性...93
93. 退化情况...94
94. 对偶律...94
第5章习题...96

第6章 极点和极线...99
95. 关于圆的极点和极线...99
96. 圆锥曲线的内点的共轭点的轨迹...101
97. 更多的性质...102
98. 极点极线的定义...102
99. 极点与极线的基本定理...102
100. 共轭点与共轭直线...103
101. 已知点的极线作法...103
102. 自配极三角形...103
103.　 射影相关的极点与极线...104
104. 对偶性...105
105. 自对偶定理...105
106. 其他对应关系...106
第6章习题...106

第7章 圆锥曲线的 度量性质...107
107. 圆锥曲线的分类...107
108. 直径与中心...107
109. 相关的几个定理...109
110. 共轭直径...109
111. 渐近线...110
112. 有关的几个定理...110
113. 关于渐近线的定理...110
115. 由双曲线及其渐近线切割的弦...111
116. 定理的应用...112
117. 由二条渐近线和一条切线形成的三角形...112
118. 利用渐近线来表示一个双曲线的方程...113
119. 抛物线方程...113
120. 利用共轭直径表示有心圆锥线方程...116
第7章习题...118

第8章 对合...119
121. 基本定理...119
122. 线性作图法...120
123. 直线上点的对合的定义...121
124. 对合中的二重点...121
125. 有关通过四点的圆锥曲线的Desargues定理...123
127. 通过四点并与一已知直线相切的圆锥线...124
128. 二重对应...124
129. Steiner的作图方法...125
130. Steiner作图法在重对应中的应用...126
131. 二阶点列中点的对合...127
132. 射线的对合...128
133. 二重射线...128
134. 通过一固定点与四线相切的圆锥线...129
135. 双重对应...129
136. 处于对合下的二阶射线束...129
137. 有关对合二阶射线束的定理...129
138. 由一圆锥曲线确定的射线的对合...130
139. 定理的陈述...130
140. 定理的对偶...130
第8章习题...131

第9章 对合的度量性质...133
141. 无穷远点的引入; 对合的中心...133
142. 基本度量定理...133
143. 二重点的存在...134
144. 二重射线的存在...136
145. 通过圆来构筑对合...136
146. 圆点...137
147. 对合中的正交射线对．圆对合...138
148. 圆锥线的轴...138
149. 由一圆锥线确定的对合的点是圆点...139
150. 圆点的性质...139
151. 圆点的位置...140
152. 寻找圆锥曲线的焦点...141
153. 圆和抛物线...141
154. 圆锥线焦点性质...142
155. 抛物线的情况...143
156. 抛物面反射镜...143
157. 准线．主轴．顶点...143
158. 圆锥线的另一种定义...144
159. 离心率...144
160. 焦距之和与差...145
第9章习题...145

第10章 综合射影几何的历史...147
161. 早期成果...147
162. 统一性原理...148
163. Desargues.148
164. 极点与极线...149
165. 通过4点的二阶曲线的Desargues定理...149
166. 推广到空间的极点与极线理论...150
167. 描述圆锥曲线的Desargues方法...150
168. Desargues工作的被接纳...150
169. Desargues时代的保守性...151
170. Desargues的写作风格...152
171. Desargues工作缺乏欣赏...153
172. Pascal与他的定理...153
173. Pascal的短评...154
174. Pascal的独创性...154
175. De La Hire和他的工作...155
176. Descartes和他的影响...156
177. Newton和Maclaurin.157
178. Maclaurin的证法...157
179. 画法几何与综合几何的二次复兴...158
180. 对偶性，同调性，连续性，偶然性联系...159
181. Poncelet和Cauchy.159
182. Poncelet的工作...160
183. 解析几何妥欠综合几何的债...161
184. Steiner和他的工作...161
185. Von Staudt和他的工作...162
186. 近期的发展...162

附  录...165
参考文献...175
索   引...178
【完】