数据结构-排序-堆排序

1、 堆排序定义

　n个关键字序列Kl，K2，…，Kn称为堆，当且仅当该序列满足如下性质(简称为堆性质)：

　(1) ki≤K2i且ki≤K2i+1 或(2)Ki≥K2i且ki≥K2i+1(1≤i≤

)

　若将此序列所存储的向量R[1..n]看做是一棵完全二叉树的存储结构，则堆实质上是满足如下性质的完全二叉树：树中任一非叶结点的关键字均不大于(或不小于)其左右孩子(若存在)结点的关键字。

2、大根堆和小根堆

　根结点(亦称为堆顶)的关键字是堆里所有结点关键字中最小者的堆称为小根堆。

　根结点(亦称为堆顶)的关键字是堆里所有结点关键字中最大者，称为大根堆。

注意：

　①堆中任一子树亦是堆。

　 ②以上讨论的堆实际上是二叉堆(Binary Heap)，类似地可定义k叉堆。

3、堆排序特点

　堆排序(HeapSort)是一树形选择排序。

　堆排序的特点是：在排序过程中，将R[l..n]看成是一棵完全二叉树的顺序存储结构，利用完全二叉树中双亲结点和孩子结点之间的内在关系【参见二叉树的顺序存储结构】，在当前无序区中选择关键字最大(或最小)的记录。

4、堆排序与直接插入排序的区别

　直接选择排序中，为了从R[1..n]中选出关键字最小的记录，必须进行n-1次比较，然后在R[2..n]中选出关键字最小的记录，又需要做n-2次比较。事实上，后面的n-2次比较中，有许多比较可能在前面的n-1次比较中已经做过，但由于前一趟排序时未保留这些比较结果，所以后一趟排序时又重复执行了这些比较操作。

　堆排序可通过树形结构保存部分比较结果，可减少比较次数。

5、堆排序

堆排序利用了大根堆(或小根堆)堆顶记录的关键字最大(或最小)这一特征，使得在当前无序区中选取最大(或最小)关键字的记录变得简单。

（1）用大根堆排序的基本思想

① 先将初始文件R[1..n]建成一个大根堆，此堆为初始的无序区

② 再将关键字最大的记录R[1](即堆顶)和无序区的最后一个记录R
交换，由此得到新的无序区R[1..n-1]和有序区R
，且满足R[1..n-1].keys≤R
.key

③ 由于交换后新的根R[1]可能违反堆性质，故应将当前无序区R[1..n-1]调整为堆。然后再次将R[1..n-1]中关键字最大的记录R[1]和该区间的最后一个记录R[n-1]交换，由此得到新的无序区R[1..n-2]和有序区R[n-1..n]，且仍满足关系R[1..n-2].keys≤R[n-1..n].keys，同样要将R[1..n-2]调整为堆。

……

直到无序区只有一个元素为止。

（2）大根堆排序算法的基本操作：

① 初始化操作：将R[1..n]构造为初始堆；

② 每一趟排序的基本操作：将当前无序区的堆顶记录R[1]和该区间的最后一个记录交换，然后将新的无序区调整为堆(亦称重建堆)。

注意：

①只需做n-1趟排序，选出较大的n-1个关键字即可以使得文件递增有序。

②用小根堆排序与利用大根堆类似，只不过其排序结果是递减有序的。堆排序和直接选择排序相反：在任何时刻，堆排序中无序区总是在有序区之前，且有序区是在原向量的尾部由后往前逐步扩大至整个向量为止。

【1-5来源】http://student.zjzk.cn/course_ware/data_structure/web/paixu/paixu8.4.2.2.htm

6、 C实现

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cmath>

const int HEAP_SIZE = 13; //堆積樹大小

int parent(int);
int left(int);
int right(int);
void Max_Heapify(int [], int, int);
void Build_Max_Heap(int []);
void print(int []);
void HeapSort(int [], int);

/*父結點*/
int parent(int i)
{
return (int)floor(i / 2);
}

/*左子結點*/
int left(int i)
{
return 2 * i;
}

/*右子結點*/
int right(int i)
{
return (2 * i + 1);
}

/*單一子結點最大堆積樹調整*/
void Max_Heapify(int A[], int i, int heap_size)
{
int l = left(i);
int r = right(i);
int largest;
int temp;
if(l < heap_size && A[l] > A[i])
{
largest = l;
}
else
{
largest = i;
}
if(r < heap_size && A[r] > A[largest])
{
largest = r;
}
if(largest != i)
{
temp = A[i];
A[i] = A[largest];
A[largest] = temp;
Max_Heapify(A, largest, heap_size);
}
}

/*建立最大堆積樹*/
void Build_Max_Heap(int A[])
{
for(int i = (HEAP_SIZE-1)/2; i >= 0; i--)
{
Max_Heapify(A, i, HEAP_SIZE);
}
}

/*印出樹狀結構*/
void print(int A[])
{
for(int i = 0; i < HEAP_SIZE;i++)
{
printf("%d ", A[i]);
}
printf("\n");
}

/*堆積排序程序碼*/
void HeapSort(int A[], int heap_size)
{
Build_Max_Heap(A);
int temp;
for(int i = heap_size - 1; i > 0; i--)
{
temp = A[0];
A[0] = A[i];
A[i] = temp;
Max_Heapify(A, 0, i);
}
print(A);
}

/*輸入資料並做堆積排序*/
int main(int argc, char* argv[])
{
int A[HEAP_SIZE] = {19, 1, 10, 14, 16, 4, 7, 9, 3, 2, 8, 5, 11};
HeapSort(A, HEAP_SIZE);
system("pause");
return 0;
}

7.算法分析






【6-7来源】维基百科 http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E5%A0%86%E7%A9%8D%E6%8E%92%E5%BA%8F