【查找结构】二叉查找树

当所有的静态查找结构添加和删除一个数据的时候，整个结构都需要重建。这对于常常需要在查找过程中动态改变数据而言，是灾难性的。因此人们就必须去寻找高效的动态查找结构，我们在这讨论一个非常常用的动态查找树——二叉查找树。

二叉查找树的特点

下面的图就是两棵二叉查找树，我们可以总结一下他的特点：

(1) 若它的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值

(2) 若它的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值

(3) 它的左、右子树也分别为二叉查找树



我们中序遍历这两棵树发现一个有序的数据序列： 【1 2 3 4 5 6 7 8 】

二叉查找树的操作

插入操作：

现在我们要查找一个数9，如果不存在则，添加进a图。我们看看二叉查找树动态添加的过程：

1). 数9和根节点4比较(9>4)，则9放在节点4的右子树中。

2). 接着，9和节点5比较(9>5)，则9放在节点5的右子树中。

3). 依次类推：直到9和节点8比较(9>8)，则9放在节点8的右子树中，成为节点8的右孩子。

这个过程我们能够发现，动态添加任何一个数据，都会加在原树结构的叶子节点上，而不会重新建树。 由此可见，动态查找结构确实在这方面有巨大的优势。

删除操作：

如果二叉查找树中需要删除的结点左、右子树都存在，则删除的时候需要改变一些子树结构，但所需要付出的代价很小。

具体的插入，删除算法请参加《数据结构算法与应用——搜索树》P5-8。[该章节已经上传到《查找结构专题(6)：动态查找树比较 》中]。

二叉查找树的效率分析

那么我们再来看看二叉查找树的效率问题

很显然，在a,b两图的二叉查找树结构中查找一个数据，并不需要遍历全部的节点元素，查找效率确实提高了。但是有一个很严重的问题：我们在a图中查找8需要比较5次数据，而在B图中只需要比较3次。更为严重的是：如果按有序序列[1 2 3 4 5 6 7 8]建立一颗二叉查找树，整棵树就退化成了一个线性结构（如c输入图：单支树），此时查找8需要比较8次数据，和顺序查找没有什么不同。

总结一下：最坏情况下，构成的二叉排序树蜕变为单支树，树的深度为n，其查找时间复杂度与顺序查找一样O(N)。最好的情况是二叉排序树的形态和折半查找的判定树相同，其平均查找长度和log2(N)成正比（O(log2(n))）。

这说明：同样一组数据集合，不同的添加顺序会导致查找树的结构完全不一样，直接影响了查找效率。

那么如何解决这个问题呢? 我们会在下面的专题中：《平衡二叉树》 中来解决。

下面是java实现的二叉查找树（说句老实话，没有指针的java实现数据结构真是复杂）：

package net.hr.algorithm.search;

import java.util.ArrayList;

/**
* 二叉树节点结构
* @author heartraid
*/
class BSTNode<E extends Comparable<E>>{
/**结点关键字*/
E key=null;
/**直接父亲结点*/
BSTNode<E> parent=null;
/**结点左子树的根节点*/
BSTNode<E> lchild=null;
/**结点右子树的根节点*/
BSTNode<E> rchild=null;

BSTNode(E k){
this.key=k;
}

}
/**
* 二叉查找树 Binary Search Tree(BST)
* @author heartraid
*
*/
public class BST<E extends Comparable<E>> {
/**树根*/
private BSTNode<E> root=null;

public BST(){
}

/**
* BST 查询关键字
* @param key 关键字
* @return 查询成功/true, 查询失败/false
*/
public boolean search(E key){
System.out.print("搜索关键字["+key+"]：");
if(key==null||root==null){
System.out.println("搜索失败");
return false;
}
else{
System.out.print("搜索路径[");
if(searchBST(root,key)==null){
return false;
}
else return true;

}
}
/**
* BST插入关键字
* @param key 关键字
* @return 插入成功/true, 插入失败/false
*/
public boolean insert(E key){
System.out.print("插入关键字["+key+"]：");
if(key==null) return false;
if(root==null){
System.out.println("插入到树根。");
root=new BSTNode<E>(key);
return true;
}
else{
System.out.print("搜索路径[");
return insertBST(root,key);
}
}

public boolean delete(E key){
System.out.print("删除关键字["+key+"]：");
if(key==null||root==null){
System.out.println("删除失败");
return false;
}
else{
System.out.print("搜索路径[");

//定位到树中待删除的结点
BSTNode<E> nodeDel=searchBST(root,key);
if(nodeDel==null){
return false;
}
else{
//nodeDel的右子树为空,则只需要重接它的左子树
if(nodeDel.rchild==null){

BSTNode<E> parent=nodeDel.parent;
if(parent.lchild.key.compareTo(nodeDel.key)==0)
parent.lchild=nodeDel.lchild;
else
parent.rchild=nodeDel.lchild;
}
//左子树为空,则重接它的右子树
else if(nodeDel.lchild==null){
BSTNode<E> parent=nodeDel.parent;
if(parent.lchild.key.compareTo(nodeDel.key)==0)
parent.lchild=nodeDel.rchild;
else
parent.rchild=nodeDel.rchild;
}
//左右子树均不空
else{
BSTNode<E> q=nodeDel;
//先找nodeDel的左结点s
BSTNode<E> s=nodeDel.lchild;
//然后再向s的右尽头定位(这个结点将替代nodeDel)，其中q一直定位在s的直接父亲结点
while(s.rchild!=null){
q=s;
s=s.rchild;
}
//换掉nodeDel的关键字为s的关键字
nodeDel.key=s.key;
//重新设置s的左子树
if(q!=nodeDel)
q.rchild=s.lchild;
else
q.lchild=s.lchild;
}
return true;
}
}
}

/**
* 递归查找关键子
* @param node 树结点
* @param key 关键字
* @return 查找成功，返回该结点，否则返回null。
*/
private BSTNode<E> searchBST(BSTNode<E> node, E key){
if(node==null){
System.out.println("].  搜索失败");
return null;
}
System.out.print(node.key+" —>");
//搜索到关键字
if(node.key.compareTo(key)==0){
System.out.println("].  搜索成功");
return node;
}
//在左子树搜索
else if(node.key.compareTo(key)>0){
return searchBST(node.lchild,key);
}
//在右子树搜索
else{
return searchBST(node.rchild,key);
}
}

/**
* 递归插入关键字
* @param node 树结点
* @param key 树关键字
* @return true/插入成功，false/插入失败
*/
private boolean insertBST(BSTNode<E> node, E key){
System.out.print(node.key+" —>");
//在原树中找到相同的关键字，无需插入。
if(node.key.compareTo(key)==0)
{
System.out.println("].  搜索有相同关键字，插入失败");
return false;
}
else{
//搜索node的左子树
if(node.key.compareTo(key)>0){
//如果当前node的左子树为空，则将新结点key node插入到左孩子处
if(node.lchild==null) {
System.out.println("].  插入到"+node.key+"的左孩子");
BSTNode<E> newNode=new BSTNode<E>(key);
node.lchild=newNode;
newNode.parent=node;
return true;
}
//如果当前node的左子树存在，则继续递归左子树
else return insertBST(node.lchild, key);
}
//搜索node的右子树
else{
if(node.rchild==null){
System.out.println("].  插入到"+node.key+"的右孩子");
BSTNode<E> newNode=new BSTNode<E>(key);
node.rchild=newNode;
newNode.parent=node;
return true;
}
else return insertBST(node.rchild,key);
}
}

}
/**
* 得到BST根节点
* @return BST根节点f
*/
public BSTNode<E> getRoot(){
return this.root;
}
/**
* 非递归中序遍历BST
*/
public void InOrderTraverse(){
if(root==null)
return;
BSTNode<E> node=root;
ArrayList<BSTNode<E>> stack=new ArrayList<BSTNode<E>>();
stack.add(node);
while(!stack.isEmpty()){
while(node.lchild!=null){
node=node.lchild;
stack.add(node);
}
if(!stack.isEmpty()){
BSTNode<E> topNode=stack.get(stack.size()-1);
System.out.print(topNode.key+" ");
stack.remove(stack.size()-1);
if(topNode.rchild!=null){
node=topNode.rchild;
stack.add(node);
}
}
}

}

/**
* 测试
*/
public static void main(String[] args) {
BST<Integer> tree=new BST<Integer>();
tree.insert(new Integer(100));
tree.insert(new Integer(52));
tree.insert(new Integer(166));
tree.insert(new Integer(74));
tree.insert(new Integer(11));
tree.insert(new Integer(13));
tree.insert(new Integer(66));
tree.insert(new Integer(121));

tree.search(new Integer(11));
tree.InOrderTraverse();

tree.delete(new Integer(11));
tree.InOrderTraverse();

}

}

原文地址