最短路径算法—Dijkstra(迪杰斯特拉)算法分析与实现(C/C++)

Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的最短路径路由算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。

　　Dijkstra算法是很有代表性的最短路算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。

其基本思想是，设置顶点集合S并不断地作贪心选择来扩充这个集合。一个顶点属于集合S当且仅当从源到该顶点的最短路径长度已知。

初始时，S中仅含有源。设u是G的某一个顶点，把从源到u且中间只经过S中顶点的路称为从源到u的特殊路径，并用数组dist记录当前每个顶点所对应的最短特殊路径长度。Dijkstra算法每次从V-S中取出具有最短特殊路长度的顶点u，将u添加到S中，同时对数组dist作必要的修改。一旦S包含了所有V中顶点，dist就记录了从源到所有其它顶点之间的最短路径长度。

例如，对下图中的有向图，应用Dijkstra算法计算从源顶点1到其它顶点间最短路径的过程列在下表中。





Dijkstra算法的迭代过程：



主题好好理解上图！

以下是具体的实现(C/C++):

/***************************************

* About: 有向图的Dijkstra算法实现

* Author: Tanky Woo

* Blog: www.WuTianQi.com

***************************************/

#include <iostream>

using namespace std;

const int maxnum = 100;

const int maxint = 999999;

void Dijkstra(int n, int v, int *dist, int *prev, int c[maxnum][maxnum])

{

bool s[maxnum]; // 判断是否已存入该点到S集合中

for(int i=1; i<=n; ++i)

{

dist[i] = c[v][i];

s[i] = 0; // 初始都未用过该点

if(dist[i] == maxint)

prev[i] = 0;

else

prev[i] = v;

}

dist[v] = 0;

s[v] = 1;

// 依次将未放入S集合的结点中，取dist[]最小值的结点，放入结合S中

// 一旦S包含了所有V中顶点，dist就记录了从源点到所有其他顶点之间的最短路径长度

for(int i=2; i<=n; ++i)

{

int tmp = maxint;

int u = v;

// 找出当前未使用的点j的dist[j]最小值

for(int j=1; j<=n; ++j)

if((!s[j]) && dist[j]<tmp)

{

u = j; // u保存当前邻接点中距离最小的点的号码

tmp = dist[j];

}

s[u] = 1; // 表示u点已存入S集合中

// 更新dist

for(int j=1; j<=n; ++j)

if((!s[j]) && c[u][j]<maxint)

{

int newdist = dist[u] + c[u][j];

if(newdist < dist[j])

{

dist[j] = newdist;

prev[j] = u;

}

}

}

}

void searchPath(int *prev,int v, int u)

{

int que[maxnum];

int tot = 1;

que[tot] = u;

tot++;

int tmp = prev[u];

while(tmp != v)

{

que[tot] = tmp;

tot++;

tmp = prev[tmp];

}

que[tot] = v;

for(int i=tot; i>=1; --i)

if(i != 1)

cout << que[i] << " -> ";

else

cout << que[i] << endl;

}

int main()

{

freopen("input.txt", "r", stdin);

// 各数组都从下标1开始

int dist[maxnum]; // 表示当前点到源点的最短路径长度

int prev[maxnum]; // 记录当前点的前一个结点

int c[maxnum][maxnum]; // 记录图的两点间路径长度

int n, line; // 图的结点数和路径数

// 输入结点数

cin >> n;

// 输入路径数

cin >> line;

int p, q, len; // 输入p, q两点及其路径长度

// 初始化c[][]为maxint

for(int i=1; i<=n; ++i)

for(int j=1; j<=n; ++j)

c[i][j] = maxint;

for(int i=1; i<=line; ++i)

{

cin >> p >> q >> len;

if(len < c[p][q]) // 有重边

{

c[p][q] = len; // p指向q

c[q][p] = len; // q指向p，这样表示无向图

}

}

for(int i=1; i<=n; ++i)

dist[i] = maxint;

for(int i=1; i<=n; ++i)

{

for(int j=1; j<=n; ++j)

printf("%8d", c[i][j]);

printf("\n");

}

Dijkstra(n, 1, dist, prev, c);

// 最短路径长度

cout << "源点到最后一个顶点的最短路径长度: " << dist
<< endl;

// 路径

cout << "源点到最后一个顶点的路径为: ";

searchPath(prev, 1, n);

}

输入数据:

5

7

1 2 10

1 4 30

1 5 100

2 3 50

3 5 10

4 3 20

4 5 60

输出数据:

999999 10 999999 30 100

10 999999 50 999999 999999

999999 50 999999 20 10

30 999999 20 999999 60

100 999999 10 60 999999

源点到最后一个顶点的最短路径长度: 60

源点到最后一个顶点的路径为: 1 -> 4 -> 3 -> 5