编程之美2.16 最长上升子序列

如何求一个一维数组（N个元素）中最长递增子序列？

例如给定序列1-1,2,-3,4,-5,6,,-7,其中最长递增子序列的长度为4（如1,2,4,6）。

经典解法：也是传统解法，动态规划，每加入一个新的数字，则检查是否和前面所记录的序列能组成更长序列。示例如下：

扫描序列 1 -1 2 -3 4 ……

记录序列最大值 1 -1 2 1 4 ……

记录序列长度 1 1 2 -3 3 ……

代码如下：

int LIS(int array[], int len)
{
int List[MaxLen];
int max = 0;
for(int i = 0; i < len; i++)
{
List[i] = 1;
for(int j = 0; j < i; j++)
{
if(array[i] > array[j] && List[j] + 1 > List[i])
{
List[i] = List[j] + 1;
}
}
if(List[i] > max)
max = List[i];
}
return max;
}

改进解法：传统解法的时间复杂度O(N^2)。显然效率不高，也是较基本的一种解法，认真分析发现其中有大量重复判断。举个例子：

5 6 7 1 2 3 4 8.显然当加入8的时候，只需和1 2 3 4构成序列即可，不必记录和5 6 7构成序列的情况，这是关键，因为对于未来情况也就是8后面的情况，都是一样的，所以完全不必记录和5 6 7构成序列的情况。如果每加入一个数字，能够按优先匹配历史最长序列长度显然能提高效率。

代码如下：

int LIS(int array[], int len)
{
int Maxs_Min_V[MaxLen];
int nMaxLIS = 1;	//初始最长递增子序列的长度
int List[MaxLen];
Maxs_Min_V[1] = array[0];
Maxs_Min_V[0] = -10000;		//只要比数组中所有值小就行
//初始化
for(int k = 0; k < len; k++)
{
List[k] = 1;
}

for(int i = 1; i < len; i++)
{
//遍历历史最长递增序列信息
int j = 0;
for(j = nMaxLIS; j >= 0; j--)
{
if(array[i] > Maxs_Min_V[j])
{
List[i] = j + 1;
break;
}
}
//如果当前最长序列大于最长递增序列长度，更新最长信息
if(List[i] > nMaxLIS)
{
nMaxLIS = List[i];
Maxs_Min_V[nMaxLIS] = array[i];
}
else if(Maxs_Min_V[j] < array[i] && array[i] < Maxs_Min_V[j + 1])
{
Maxs_Min_V[j + 1] = array[i];
}
}
return nMaxLIS;
}