编程珠玑第2章：排序、二分查找、签名、向量平移

给定一个最多包含40亿个随机排列的32位整数的顺序文件，找出一个不在文件中一32位整数。

1、在文件中至少存在这样一个数？

2、如果有足够的内存，如何处理？

3、如果内存不足，仅可以用文件来进行处理，如何处理？

答案：

1、32位整数，包括-2146473648~~2146473647，约42亿个整数，而文件中只有40亿个，必然有整数少了。

2、如果采用位数思想来存放，则32位整数最多需要占用43亿个位。约512MB的内存空间。

3、内存不足，可以采用如下思想：

1、按最高位分为两段，没有出现的那个数，肯定在比较小的段里面。

如果比较少的段最高位为1，那么缺少的那个数的最高位也为1.

如果比较少的段最高位为0，那么少的那个数的最高位也是0.

依次按以上方法去处理每个位。

测每个整数的每个bit是0还是1，读取n=40亿个整数，第1个bit为0或为1的放到不同的文件中（每个至多为n/2亿），少于N/2个数的那组 必定缺少某个数,接着探测第2个bit是0还是1，输入至多n/2亿，输出至多n/4亿，少于N/4个数的那组 必定缺少某个数，以此类推,总的运行时间和n成正比。通过对某组排序扫描可以得到缺失的数，这样运行时间变为o(logn)。

Q2:给定一个包含4300000000个32位整数的顺序文件，请问如何找到一个至少出现两次的整数？
解答：二分查找。由于4.3G>32位的整数空间，根据鸽笼原理，肯定会有重复的整数。搜索范围从所有的32位正整数开始（全部当成unsigned
int，简化问题），即[0, 2^32)，中间值即为2^31。然后遍历文件，如果小于2^31的整数个数大于N/2=2^31，则调整搜索范围为[0, 2^31]，反之亦然；然后再对整个文件再遍历一遍，直到得到最后的结果。T(n) = T(n/2) + n，总体的复杂度为o(logn)。
例子：数组[4,2,5,1,3,6,3,7,0,7]，假定从3位的整数空间内搜索。第一次的范围为[0,8)，遍历过后发现[0,4)范围内的整数个数为5，于是调整为搜索[0,4)范围内的整数。第二次发现[2, 4)范围内的证书为3，大于2，于是调整为[2, 4)。再经过第三次的遍历，找出3为重复出现的整数。