用Java实现天平称球问题的自动求解

问题：已知n个球（n>2)中有一个重量跟别的球不一样，但不知道它是轻还是重。

用一架天平最少称多少次能找出这个次品？输出最少次数及称球方案

已知小球个数，用数学方法可推导出最少次数，但无法推导出所有的最佳称球方案。要做到这一点唯有代码实现。

思路：

随着称重和推导进行，对于小球集合的了解增加，在某一时刻，对小球集合所积累的知识可以量化表现为四个参数：正常小球个数、不明小球个数、疑似重球个数、疑似轻球个数。可以将它们封装为一个对象，取名为Status。

每一次称重的行为也可量化表现为8个参数，即天平左右两边四种球的个数，可将它们封装为一个对象，取名为Balance。

整个求解过程实际上就是一个求解树的构建过程，树的节点为Status或Balance对象。

求解树包括以下规律：

1） 根节点为初始Status

2） 每个Status对象的子节点都为Balance对象，含义是对此Status所有可能的称球方案

3） 每个Balance对象的子节点都为Status对象，含义是此次称重可能产生的三个结果（天平两边一样重、左边重、右边重）

求解过程：

若某个Status对象中只包括1个疑似重球或轻球或不明小球，称此Status为可解决的。若Status的正常小球数等于初始小球总数n，称此Status为不可能的。在此前提下，若一个Balance对象的3个Status子节点都是可解决的或不可能的，称此Balance对象为可解决的。若一个Status对象的某一个Balance子节点为可解决的，该Status继承可解决属性。

以广度优先的原则构建此求解树，每生成一个树的新节点，都根据新节点的可解决属性进行回溯逆推，直到根节点成为可解决的，则求解成功。

如欲求出所有最少称球次数解，则在找到第一个解后，继续完成同层的求解树构建，可求得所有最优解。

优化：

构造求解树是最朴素直观的求解过程。在求解树中的不同的分支及不同的层中可能出现完全相同的Status对象，将它们归并可大大提高算法的时间效率和减少内存占用，此时求解树变为一个图结构，在推导结束后采用图最小路径查找算法可得到最优解。此优化将导致求解过程的时间复杂度和内存使用收敛于O(n^3)

以下为代码演示实现，演示代码在找到第一个最优解后结束，且未做进一步的优化。总计约200行，预计加上优化300行。

package balance;

import java.util.ArrayList;
import java.util.List;
import java.util.Scanner;

public class WeightBall {
static int round = 1;
static int maxSteps;
public static void run(Status root, List<Status> list) { //求解
long time = System.currentTimeMillis();
List<Status> newlist = new ArrayList<Status>();
for (int i=0; i<list.size(); i++) {
Status status = list.get(i);
status.produceBalances();
for (int j=0; j<status.bls.size(); j++) {
Balance bl = status.bls.get(j);
bl.weight();
if (root.succeed()) {
System.out.println("第" + round + "轮: 计算至上轮第" + (i+1) + "个节点得解，之前获得节点" + newlist.size() + "个，用时" + (double)(System.currentTimeMillis()-time)/1000 + "秒");					return;
}
if (bl.out1.isUnknown()) newlist.add(bl.out1);
if (bl.out2.isUnknown()) newlist.add(bl.out2);
if (bl.out3.isUnknown()) newlist.add(bl.out3);
}
}
System.out.println("第" + round + "轮: 获得节点" + newlist.size() + "个，用时" + (double)(System.currentTimeMillis()-time)/1000 + "秒");
round++;
run(root, newlist);
}
public static void print(Status st, int depth) { //输出结果
String indent="";
for (int i=0; i<depth-1; i++) indent = indent+"\t";
Balance bl=null;
for (int i=0; i<st.bls.size(); i++)
if (st.bls.get(i).unresolved==0) bl=st.bls.get(i);
if (bl!=null) {
if (depth>maxSteps) maxSteps=depth;
System.out.println(indent + "第" + depth + "步称重: " + bl + "\r\n");
System.out.println(indent + "如果一样重: " + bl.out1 + (bl.out1.getConclusion()==Status.RESOLVED?"  *解决*":(bl.out1.getConclusion()==Status.REDICULOUS?"  ×不可能×":"")) + "\r\n");
print(bl.out1, depth+1);
System.out.println(indent + "如果左边重: " + bl.out2 + (bl.out2.getConclusion()==Status.RESOLVED?"  *解决*":(bl.out2.getConclusion()==Status.REDICULOUS?"  ×不可能×":"")) + "\r\n");
print(bl.out2, depth+1);
System.out.println(indent + "如果右边重: " + bl.out3 + (bl.out3.getConclusion()==Status.RESOLVED?"  *解决*":(bl.out3.getConclusion()==Status.REDICULOUS?"  ×不可能×":"")) + "\r\n");
print(bl.out3, depth+1);
}
}
public static void main(String[] args) {
Scanner sc = new Scanner(System.in);
System.out.println("请输入小球个数（大于2，超过14请调整JVM内存）：");
int n = sc.nextInt();
Status root = new Status(n);
ArrayList<Status> list = new ArrayList<Status>();
list.add(root);
System.out.println("***** 开始求解......");
run(root, list);
System.out.println("\r\n***** 步骤说明：");
maxSteps = 0;
print(root, 1);
System.out.println("\r\n***** 总计" + maxSteps + "步可解！");
}
}

package balance;

import java.util.ArrayList;
import java.util.List;

public class Status {
public static int RESOLVED=1, UNKNOWN=2, REDICULOUS=3, RESOLVABLE=4;
public int count=0;
public int[] data;
public List<Balance> parents = new ArrayList<Balance>();
public List<Balance> bls = new ArrayList<Balance>();
private int conclusion;

public Status(int c) {
count = c;
int[] data1 = {0,c,0,0};
data = data1;
int conc = data[0]<count-1?UNKNOWN:(data[0]==count-1?RESOLVED:REDICULOUS);
setConclusion(conc);
}
public Status(int[] is) {
data = is;
for (int i=0; i<is.length; i++) count+=is[i];
int conc = data[0]<count-1?UNKNOWN:(data[0]==count-1?RESOLVED:REDICULOUS);
setConclusion(conc);
}
public void addParent(Balance bl) {
parents.add(bl);
if (conclusion==RESOLVED || conclusion==RESOLVABLE || conclusion==REDICULOUS) bl.prop();
}
public String toString() {
return "正常" + data[0] + "、不明" + data[1] + "、或重" + data[2] + "、或轻" + data[3];
}
public void setConclusion(int conc) {
if (conclusion == conc) return;
conclusion = conc;
if (conclusion==RESOLVED || conclusion==RESOLVABLE || conclusion==REDICULOUS)
for (int i=0; i<parents.size(); i++)
parents.get(i).prop();
}
public int getConclusion() {return conclusion;}
public boolean succeed() {return conclusion==RESOLVED || conclusion==RESOLVABLE;}
public boolean isUnknown(){return conclusion==UNKNOWN;}

public void produceBalances() {//得到当前状况下所有可能的称重方案
List<int[]> bldata = getBalanceDataArray(data);
bls = new ArrayList<Balance>();
for (int i=0; i<bldata.size(); i++) {
Balance bl = new Balance(bldata.get(i));
bl.in = this;
bls.add(bl);
}
}
private List<int[]> getBalanceDataArray(int[] src) {
List<int[]> list = new ArrayList<int[]>();
list.add(new int[src.length*2]);
return getBalanceDataArray(src,0,list);
}
private List<int[]> getBalanceDataArray(int[] src, int id, List<int[]> list) {
int total=0,left,right;
if (id>=src.length) {
for (int i=list.size()-1; i>=0; i--) {
int[] is = list.get(i);
left=0;
right=0;
for (int j=0; j<src.length; j++) left+=is[j];
for (int j=src.length; j<src.length*2; j++) right+=is[j];
if (left!=right || left==0 || is[0]>0&&is[is.length/2]>0)
list.remove(i);
}
return list;
}
List<int[]> r = new ArrayList<int[]>();
for (int i=0; i<src.length; i++) total += src[i];
int half = total/2;
for (int i=0; i<list.size(); i++) {
int[] is = list.get(i);
left=0;
right=0;
for (int j=0; j<src.length; j++) left+=is[j];
for (int j=src.length; j<src.length*2; j++) right+=is[j];
for (int j=0; j<=Math.min(half-left, src[id]); j++) {
for (int k=0; k<=Math.min(half-right, src[id]-j); k++) {
int[] iis = list.get(i).clone();
iis[id] = j;
iis[id+src.length] = k;
r.add(iis);
}
}
}
return getBalanceDataArray(src,id+1,r);
}
}

package balance;

public class Balance {
public int[] data;
public Status in,out1,out2,out3;
public int unresolved = 3;

public Balance(int[] data) {
this.data = data.clone();
}
public void weight() {//称重量，推理出三种可能的结果
int[] temp;
// 一样重
temp = in.data.clone();
for (int i=1; i<4; i++) { //所有参与称重的球都移入正常球集合
temp[0] = temp[0] + data[i] + data[i+4];
temp[i] = temp[i] - data[i] - data[i+4];
}
out1 = new Status(temp);
out1.addParent(this);

//左边重
temp = in.data.clone();
for (int i=1; i<4; i++) {
temp[0] = temp[0] + temp[i] - data[i] - data[i+4]; //未参与称重的球  -->> 正常球
}
temp[0] += data[3] + data[6]; //左边的疑似轻球、右边的疑似重球  -->> 正常球
temp[1] = 0;
temp[2] = data[1] + data[2]; //左边的不明轻重球移入疑似重球集合
temp[3] = data[5] + data[7]; //右边的不明轻重球移入疑似轻球集合
out2 = new Status(temp);
out2.addParent(this);

//右边重
temp = in.data.clone();
for (int i=1; i<4; i++) {
temp[0] = temp[0] + temp[i] - data[i] - data[i+4]; //未参与称重的球  -->> 正常球
}
temp[0] += data[2] + data[7]; //左边的疑似重球、右边的疑似轻球  -->> 正常球
temp[1] = 0;
temp[2] = data[5] + data[6]; //右边的不明轻重球移入疑似重球集合
temp[3] = data[1] + data[3]; //左边的不明轻重球移入疑似轻球集合
out3 = new Status(temp);
out3.addParent(this);
}
public String toString(){
return "（" + (data[0]>0?"正常球×"+data[0]+"个 ":"") + (data[1]>0?"不明球×"+data[1]+"个 ":"")
+(data[2]>0?"疑似重球×"+data[2]+"个 ":"") + (data[3]>0?"疑似轻球×"+data[3]+"个 ":"")
+ "） --天平-- （"
+ (data[4]>0?"正常球×"+data[4]+"个 ":"") + (data[5]>0?"不明球×"+data[5]+"个 ":"")
+(data[6]>0?"疑似重球×"+data[6]+"个 ":"") + (data[7]>0?"疑似轻球×"+data[7]+"个 ":"") + "）";
}
public void prop() {
if (unresolved <= 0) return;
unresolved--;
if (unresolved == 0) in.setConclusion(Status.RESOLVABLE);
}
}