砝码分盐问题——从数学和计算机的角度分析(9)

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Content
0.
问题



1.
一些方法



2.
从数学的角度分析


3.
能否编程计算？


4.
一个改进的方法


5.
再改进的方法


6.
能否直接计算求出所有正确解？


7.
一个更为简单的方法


8.
所有代码的自动编译、运行


9.
问题扩展


10.
体会


11.
总结


Reference

附录
1
：数学分解的代码

weight1.c

附录
2
：数学分解程序

weight1
的运行结果



附录
3
：树结构分解的代码

weight2.c

附录
4
：再改进的方法的代码

weight3.1.c/3.2.c/3.3.c

附录
5
：再改进的方法的代码

weight3.1.c/3.2.c/3.3.c
的输出结果

附录
6
：直接计算正确分解的代码

weight4.c

附录
7
：一个更简单的方法的代码

weight5.1.c/5.2.c/5.3.c

9.

问题扩展


面对这样的问题，能否举一反三？能否将其扩展？又如何扩展呢？笔者提供几个思路对其扩展，解决办法，读者可自行编程计算。

(1)
将题目给定的盐的质量及砝码质量
等倍数
增加或减少，达到同样的目标


这个扩展应该是最简单的一种，很好解，只需在程序中将定义的宏，如
total
，
heap1
和
heap2
进行相应的修改即可。


(2)
将题目给定的盐的质量及砝码质量
不等倍数
增加或减少，问有无解？若有解，有几个解？如何得到这些解？


这个扩展稍微复杂一些，质量不等倍数增加或者减少，首先是砝码组合会发生变化，但还可以参考本文给出的各种方法进行编程计算，修改全局数组
ws[]
的内容及相应的称量过程，应该也能解决该问题。


(3)
砝码个数及其质量都发生变化，达到类似的目标，如何解？


砝码组合会发生巨大的变化，求出砝码的组合结果，即本文全局变量
ws[]
数组的内容应该是该扩展的重点，可以考虑数学上的组合问题，也可以参考本文
2.1
砝码组合状态

的方法，通过一个二进制数表示砝码组合情况，共
n(
砝码个数
)
位，其每一位
(0
或者
1)
表示砝码出现或者不出现；但该表示方法不能表示砝码出现在天平的哪一端。为了表示砝码出现在天平的哪一端，可以用一个三进制数表示砝码的组合情况，其每一位
0,1,2(
此
2
表示
-1
，同
2.1
节

)
分别表示不出现，出现在左盘，出现在右盘。该方法也可参考
砝码称重问题

。


这个扩展的编程有些复杂。关于如何生成数的组合或者排列，可参考笔者的另一文章，或者相关资料。

(4)
更改称量次数，仍然达到类似的目标，又如何解？如果同时砝码个数及其质量也发生了变化，又该如何解？


若再加入
1
次或多次的称量过程，若砝码个数变化不大，还可控，若砝码个数及其质量如
(3)
也发生变化，则该扩展会变得非常复杂，编程也会很复杂。但解决思路应该还是这些思路，如果前
3
个扩展都能解决，该扩展也能很好的解决，有兴趣的读者可自行编程计算。



(5) 若将每个过程分解出来的盐也当作砝码？又该如何解？



这个扩展就不再本文的范围内了，本文定位于有确定解的数学和计算机分析。实际上，该确定的解就是通过仅仅是已知砝码组合状态分解问题的解，我们在第2节
和第7节
均有讨论。



那么这个扩展就类似本文第1.1节
和第1.3节
的内容，因此，砝码的组合将出现混合的情况，但本文的思路仍然可以借鉴，有兴趣的读者可自行编程计算。



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