PKU 1191 棋盘分割 递归解法

【题意简述】

    有一个8*8的棋盘，每次将当前的棋盘分成两半，然后选择一半继续分。

    一共分n-1次。

    问这n个棋盘的最小均方差是多少？

    (n<15)

 

 

【分析】

    先把公式变形： 

         ans^2  =  ∑xi^2/n - (x)^2

    显然，由于块数是固定的n，平均数(x)等于所有数字的和除n。

    那么我们只需求出每块的最小平方和即可，这个是很典型的DP:

     F[k,r1,c1,r2,c2] 

     =  Min{  F[k-1,r1,c1,i,c2] + W[i+1,c1,r2,c2],

              F[k-1,i+1,c1,r2,c2] + W[r1,c1,i,c2],

              F[k-1,r1,c1,r2,i] + W[r1,i+1,r2,c2],

              F[k-1,r1,i+1,r2,c2] + W[r1,c1,r2,i] } 

     令W[a,b,c,d]=S[a,b,c,d]^2

     这里S[a,b,c,d]表示矩形(a,b,c,d)的数字和 

     S[a,b,c,d]=sum[c,d]-sum[c,b-1]-sum[a-1,d]+sum[a-1,b-1]

     sum[a,b] = sum[a-1,b] + sum[a,b-1] - sum[a-1,b-1]

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Description
将一个８*８的棋盘进行如下分割：将原棋盘割下一块矩形棋盘并使剩下部分也是矩形，再将剩下的部分继续如此分割，这样割了(n-1)次后，连同最后剩下的矩形棋盘共有n块矩形棋盘。(每次切割都只能沿着棋盘格子的边进行)



原棋盘上每一格有一个分值，一块矩形棋盘的总分为其所含各格分值之和。现在需要把棋盘按上述规则分割成n块矩形棋盘，并使各矩形棋盘总分的均方差最小。
均方差

，其中平均值

，xi为第i块矩形棋盘的总分。
请编程对给出的棋盘及n，求出O'的最小值。

Input
第1行为一个整数n(1 < n < 15)。
第2行至第9行每行为8个小于100的非负整数，表示棋盘上相应格子的分值。每行相邻两数之间用一个空格分隔。

Output
仅一个数，为O'（四舍五入精确到小数点后三位）。
Sample Input

3
1 1 1 1 1 1 1 3
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 0
1 1 1 1 1 1 0 3

Sample Output

1.633

Source
Noi 99
#include<stdio.h>
#include<math.h>
int n,sum[10][10]={0};
double ans;
double f[15][9][9][9][9]={0};
int    flag[15][9][9][9][9]={0};
double  w(int a,int b,int c,int d)
{
      return sum[c][d]-sum[c][b-1]-sum[a-1][d]+sum[a-1][b-1];
}
double dp(long k,long r1,long c1,long r2,long c2)
{
       double tmp=99999999;
       int   i;
       double   kk;
       if(k==1)
        return w(r1,c1,r2,c2)*w(r1,c1,r2,c2);
       if(r1>r2) return 9999999;
       if(c1>c2) return 9999999;
       if(flag[k][r1][c1][r2][c2])
        return f[k][r1][c1][r2][c2];
       for(i=r1;i<=r2;i++)
       {
         kk=dp(k-1,r1,c1,i,c2)+w(i+1,c1,r2,c2)*w(i+1,c1,r2,c2);
         if(kk<tmp)
          tmp=kk;
         kk=dp(k-1,i+1,c1,r2,c2)+w(r1,c1,i,c2)*w(r1,c1,i,c2);
         if(kk<tmp)
          tmp=kk;
       }
       for(i=c1;i<=c2;i++)
       {
         kk=dp(k-1,r1,c1,r2,i)+w(r1,i+1,r2,c2)*w(r1,i+1,r2,c2);
         if(kk<tmp)
          tmp=kk;
         kk=dp(k-1,r1,i+1,r2,c2)+w(r1,c1,r2,i)*w(r1,c1,r2,i);
         if(kk<tmp)
          tmp=kk;
       }
       f[k][r1][c1][r2][c2]=tmp;
       flag[k][r1][c1][r2][c2]=1;
       return tmp;
}
int main()
{
 freopen("in.txt","r",stdin);
 freopen("out.txt","w",stdout);
     int  x,i,j;
     scanf("%d",&n);
     for(i=1;i<=8;i++)
      for(j=1;j<=8;j++)
      {
       scanf("%d",&x);
       sum[i][j]=sum[i-1][j]+sum[i][j-1]-sum[i-1][j-1]+x;
      }
     ans=(-1)*(1.0*sum[8][8]/n)*(1.0*sum[8][8]/n);
     printf("%.3lf/n",sqrt(dp(n,1,1,8,8)/n+ans));
    return 0;
}