C/C++面试之算法系列－－时间复杂度为o(N)查找1至N-1构成的a[N]重复元素

时间复杂度为o(N)查找1至N-1构成的a
重复元素

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数组a
，1至N-1这N-1个数存放在a
中，其中某个数重复一次。写一个函数，找出被重复的数字。时间复杂度必须为o（N）函数原型：
int do_dup(int a[],int N)

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假金条的数学思想[/b][/b]
[/b]
此算法题借鉴了假金条的思想，不过比那个过程简单，存放1至N-1，就相当于依次从各个袋中取出1至N-1个金条，但是有一个是重的，计算这N个数的和将相当于称总重量，减去1至N-1的和（用数学方法求）就可求出来重复的数。总之要充分利用数学知识

const int N = 5;
int a
={2,1,3,1,4};
int tmp1 = 0;
int tmp2 = 0;
for (int i=0; i<N; ++i)
{
tmp1+=(i+1);
tmp2+=a[i];
}
printf("重复的数:%d/n",N-(tmp1-tmp2));

上述方法求1~N的和，减去数组总和，即为N-x 的差值，x为待找的数
可以优化的是1-N的和不用程序算，数学方法直接算了
可定义一个宏,
#define sum(x) (x(x+1)/2)
当然乘法操作是比较复杂的，当N较小时加几个数的效率可能更高

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标志数组法[/b][/b]
[/b]
申请一个长度为n-1且均为'0'组成的字符串。然后从头遍历a
数组，取每个数组元素a[i]的值，将其对应的字符串中的相应位置置1，如果已经置过1的话，那么该数就是重复的数。就是用位图来实现的。

其实，只要数还是0 -- n-1里面的数，那么可以用这样的方法判断所有的重复数的位置和值。
比如这样的一个数组
{2,3,1,2}
我们生成一个字符串"000";
然后开始遍历，a[0] = 2;
所以，字符串的第二位为"0",那么我们将其置为"1"
字符串为"010"
重复，字符串为"011",,,,,"111"
然后，判断a[3] = 2 那么 第二位为"1"
所以，a[3]为重复数，并且位置为第4位。

上述map等各方法的思路是一致的，即访问过后做标记，再次访问时即可知道是否重复。如果考虑空间复杂度的话，其空间o（N）
int do_dup(int arr[],int NUM)
{
int *arrayflag = malloc(NUM*sizeof(int));

while(i++<NUM)
arrayflag[i] = false;

for(int i=0; i<NUM; i++)
{
if(arrayflag[arr[i]] >= false)
arrayflag[arr[i]] >= true; // 置出现标志
else
return arr[i]; //返回已经出现的值
}
}

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固定偏移标志法[/b][/b]

利用标记法单纯写个O(N)的方法并不难，关键是如何保证两点：
不改变A[]的初始值
函数内不开辟另外的O(N)内存空间.

很明显上述方法申请了O(N)内存空间，当N过大时，性能降低了
因此应利用a
本身中值和下标的关系来做标记，处理完成后再清除标记即可

a
，里面是1至N-1。原数组a[i]最大是N-1，若a[i]=K在某处出现后，将a[K]加一次N，做标记，当某处a[i]=K再次成立时，查看a[K]即可知道K已经出现过。a[i]在程序中最大也只是N-1+N=2N-1（溢出了怎么办啊？？？），此为一个限制条件

int do_dup(int arr[],int NUM)
{
int temp=0;

for(int i=0; i<NUM; i++)
{
if(arr[i]>=NUM)
temp=arr[i]-NUM; // 该值重复了，因为曾经加过一次了
else
temp=arr[i];

if(arr[temp]<NUM)
{
arr[temp]+=NUM; //做上标记
}
else
{
printf("有重复");
return temp;
}
}

printf("无重复");
return -1;
}
上面就是时间复杂度O(N), 空间复杂度O(1)的算法!

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符号标志法[/b][/b]

上述方法将元素加一个固定的NUM来做标记，可能会造成溢出。下列方法中利用符号位来做标记，因为1~N都为正值，所以就无限制了。基本思想是用int数组的符号位作哈希表。（反正不是unsigned int符号位闲着也是闲着）

bool dup(int array[],int n)
{
for(int i=0;i<n;i++)
{
if(array[i]>0) //可以以此作下标去判断其他值
{
if(array[array[i]]<0)
{
return array[i];//已经被标上负值了，有重复
}
else
{
array[array[i]]= －array[array[i]]; //否则标记为负
}
}
else // |array[i]|代表的值已经出现过一次了
{
if(array[-array[i]]<0)
{
return -array[i];//有重复
}
else
{
array[-array[i]]=－array[-array[i]];
}
}
}
return -1;//没有重复
}

//用于修复数组
void restorearray(int array[],int n)
{
for(int i=0;i<n;i++)
{
if(array[i]<0)array[i]= －array[i];
}
}
时间复杂度o（n） 空间复杂度o（1）
不过时间复杂度o（n） 空间复杂度o（1）不只一个重复利用此法也是可以实现的