一种非线性函数的曲线拟合方法（函数公式： k = A*(T^a)*exp(E/T) ）

上一篇文章说了，函数的曲线拟合我以前没做过，所以是摸着石头过河，不知道所采用的方法是否合理，虽然是完成了拟合，不过我觉得自己采用的拟合方法还是比较原始的，希望做曲线拟合的朋友多多指教。

原始数据如下：
T(K) K
200.00 2.5069E-13
220.00 3.5043E-13
223.00 3.6741E-13
225.00 3.7904E-13
250.00 5.4617E-13
275.00 7.5744E-13
295.00 9.6192E-13
298.00 9.9551E-13
300.00 1.0183E-12
325.00 1.3346E-12
350.00 1.7119E-12
375.00 2.1564E-12
400.00 2.6739E-12
425.00 3.2706E-12
450.00 3.9527E-12
475.00 4.7261E-12
480.00 4.8922E-12
500.00 5.5968E-12
525.00 6.5710E-12
550.00 7.6544E-12
575.00 8.8529E-12
600.00 1.0172E-11
800.00 2.5705E-11
1000.00 5.1733E-11
1250.00 1.0165E-10

目标：拟合成 k = A*(T^a)*exp(E/T) 模式的公式，
其中A、a和E为未知常数，是我们需要通过曲线拟合要求出的数据。

拟合目标中的公式是幂逼近和指数逼近的混合，用Matlab的cftool 工具箱的自定义函数来逼近，效果并不理想，所以我就参考了网上的一些博客和百度知道等资源，采取如下策略：

首先将非线性的拟合公式转化为线性公式，再用求解线性方程组的矩阵方法求出未知常数的值。

具体地说，拟合公式的线性化表达式为： log(k) = log(A) + a*log(T) + E/T 。这里有三个未知常数log(A)、a 和 E，则依次取T，K各三个数据，组成 N 个线性方程组： Cx=b，
其中：x=[log(A), a, E], C=[1, log(T), 1/T], b=log(k) 。
解这些线性方程组，得到所有方程组的解组成的解矩阵 xMat，其大小为 N*3，对解矩阵的每一列求平均，即可得到所求的未知常数值。

根据以上策略，可求得未知常数A、a和E的值如下：

A = 3.8858e-020，a = 3.0595，E = -117.2915

程序源码：

function [A,a,E]= fun_NLFit(T,K)
% 函数 FUN_NLFIT() 根据输入T，K的数据集，求出拟合公式 k = A*(T^a)*exp(E/T)
% 的未知常数 A,a,E 。

logT=log(T);
logK=log(K);
daoT=T.^(-1);
lenT=length(T);
C=ones(3);
xMat=[];
% 为了提高拟合精度，从第一个数据点开始，依次分别取T、K的三个相邻的数据点
% 组成线性方程组，若 T 有 lenT 个元素，则可组成 lenT-2 个方程组
for r=1:lenT-2
C(:,2)=logT(r:r+2);
C(:,3)=daoT(r:r+2);
b=logK(r:r+2);
% C=[1 log(T) 1/T], b=log(k)
x=(C/b)';
xMat=[xMat; x];
% 每解一次方程组，则将解 x 存入解矩阵 xMat
end
% 对解矩阵的每一列求平均，即可得到所求的未知常数值
logA=mean(xMat(:,1));
A=exp(logA);
a=mean(xMat(:,2));
E=mean(xMat(:,3));
% 画出由点集T、K构成的目标曲线
h1=stem(T,K,'bo'); % ‘bo’表示每个点用一个小圆圈表示
set(h1,'MarkerFaceColor','green'); % 小圆圈内的颜色为绿色
set(h1,'LineStyle','none'); % 隐藏基线到点的连线
set(get(h1,'BaseLine'),'LineStyle','none'); % 隐藏基线
hold on; % 保持由点集构成的目标曲线，以便和拟合曲线进行对比

% 根据拟合公式，求出若干的拟合点，画出拟合曲线
t=200:10:1300;
k=A*(t^a)*exp(E/t);
plot(t,k,'r');
% 拟合曲线用红色表示
xlabel('T'); ylabel('K'); title('Nonlinear Curve Fitting');

拟合效果图如下：