关于正交变换和正交矩阵

关于正交变换和正交矩阵一点学习笔记:
定义:设V是一个欧氏空间,А是V上的线形变换,如果对于任何向量x,y,变换А恒能使的下列等式成立则说А是V上的正交变换。
定理: А是欧氏空间V上的线形变换,下面满足任意条件都是А成为正交变换的充要条件。1. А使得向量长度保持不变,机对于任何x∈V有(А(x), А(x))=(x,x)
2.任意一组标准正交基经过А变换后的 基像仍是一组标准正交基。
3. А在任意一组标准正交基下的矩阵А满足ATA=AAT=I或A-1 = AT
关于应用方面两类常见的正交变换:
1. 平面上的旋转变换
按照平面中的坐标系经过α度旋转得到如图所示的变换：
А(i) = cosα*I – sinα*j
{ А(j) = sinα*j + cosα*I

А(I,j) = (I,j)( cosα,sinα)
(-sinα,cosα) y y’ x
[align=center] [/align]
j I α
|А| =cosα2 + sinα2 = 1
[align=left] icosα[/align]
[align=right]x’[/align]
-jsinα

2.反射变换 j

А(i) = I’ = I + 0*j i
А(j) = j’ = 0*I+(-1)j

А(I,j) = (I,j)(1, 0)
(0,-1)

下面将其推广到n维空间中
初等旋转变换:n维Euclid空间V中取一组标准正交基e1,e2…en
1
.
1
cosα … … … sinα
Rij = .
.
-sinα… … … cosα
1

此时确定的变换为初等旋转变换也叫做Givens变换,具备两个性质①行列式值为1
②是正交变换Rij为正交阵

[align=left]①可以通过下面证明:自己推导令C = cosα, S = sinα[/align]
[align=left]则可以化成 [/align]
1
.
1
C … … … S
Rij = .
.
-S… … … C
1
可以通过分解消元上下角可以消去
|Rij| = 1* C … … … S
1
.
-S… … … C

再通过内部消去分解可以得到
|Rij| = C S = C2+ S2 = cosα2 + sinα2=1
-S C

② RijTRij = 1 1
. .
1 1
C … … … -S C … … … S
. .
. .
S … … … C -S … … …C
1 1

1
.
1
C2+S2 … … …C2+S2
Rij = . = I
.
C2+S2… … … C2+S2
1

还有一个镜象变换图片太难画不搞了,用途可以用于n维空间中将图片进行旋转。提供简单计算公式。后面扫描图片算了画是画死了。